Краткий анализ — когда тригонометрическая (полярная) форма $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ упрощает расчёты и где она скрывает ошибки.
Когда упрощает
- Умножение/деление: для $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1},z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ $$z_1{z}_2=(r_1{r}_2)e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)},\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}.$$ Модули перемножаются, аргументы складываются — очень удобно для вращений, фаз, усилений.
- Возведение в степень (правило Де Муавра): для целого $n$ $$z^n=r^n{e}^{in\theta }(\text{или}{r}^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )).$$ Полезно при решении уравнений $z^n=\dots$, при извлечении корней (производится равномерное распределение аргументов).
- Извлечение корней: все $n$-тые корни дают явную формулу
$$z^{1/n}=r^{1/n}{e}^{i(\theta +2\pi k)/n},k=0,\dots ,n-1.$$ - Применения: анализ гармоник, электрические цепи (фазоры), геометрические вращения, спектральные методы.
Где возникают скрытые ошибки при округлениях и почему
- Усиление ошибок угла при возведении в степень: если аргумент имеет погрешность $\delta \theta$, то у $z^n$ ошибка аргумента прибл.
$$\delta (\arg z^n)\approx n\delta \theta .$$ То есть маленькая погрешность угла многократно усиливается.
- Умножение ошибок модуля при степенях: при погрешности модуля $\delta r$ $$\frac{\delta (r^n)}{r^n}\approx n\frac{\delta r}{r}.$$ Следовательно большие $n$ увеличивают относительную погрешность модуля.
- Непрерывность аргумента (разрывы ветви): аргумент определяется с точностью до $2\pi$. Операции сложения/вычитания аргументов требуют нормализации; при численном округлении можно случайно «перескочить» через разрыв и получить неверный знак/разницу.
- Малый модуль: если $r$ очень мал, угол нечётко определён (шум в $x,y$ даёт большую $\delta \theta$). Конвертация из декартовой формы с малыми $x,y$ нестабильна.
- Накопление ошибок при больших множителях аргумента: вычисление $\cos (n\theta )$, $\sin (n\theta )$ для большого $n$ чувствительно к ошибке в $\theta$ и к неточной редукции аргумента в тригонометрических функциях.
- Извлечение корней: множество ветвей — малое смещение $\theta$ может изменить принадлежность к конкретному корню (перестановка корней).
- Преобразования и обратные операции: частые переключения между декартовой и полярной формами дают дополнительные погрешности (например, вычисление $\theta =atan2(y,x)$ или $r=\mathrm{hypot}(x,y)$ в конечной арифметике).
Практические рекомендации
- Используйте полярную форму для: умножений, делений, возведения в степень и явного нахождения корней/вращений.
- Избегайте полярной формы при: суммировании/вычитании комплексных чисел (сложение естественней в декартовой форме), при очень малых модулях или при больших степенях/индексах без контроля погрешности.
- Работайте с аккуратной нормализацией аргумента (приведение к $(-\pi ,\pi ]$ или $[0,2\pi )$) и используйте $atan2$ для вычисления аргумента.
- Для больших $n$ используйте логарифмическую форму/библиотечные функции с повышенной точностью: храните $\log r$ и умножайте на $n$ чтобы избежать переполнения/недополнения, контролируйте умножение ошибки угла.
- При численных реализациях применяйте библиотеки, реализующие корректную редукцию аргумента и вычисления тригонометрических функций; для сумм большого числа комплексных чисел — алгоритмы с уменьшением накопления ошибок (Kahan и т.п.).
Короткие формулы ошибок (линеаризация)
- Для $z=r{e}^{i\theta }$ с малыми $\delta r,\delta \theta$:
$$\delta (z^n)\approx r^n(n\frac{\delta r}{r}+in\delta \theta )e^{in\theta },$$ т.е. относительная ошибка модуля $\approx n\frac{\delta r}{r}$, ошибка фазы $\approx n\delta \theta$.
Вывод: тригонометрическая форма делает простыми умножения, деления, степени и корни, но требует осторожности при малых модулях, больших степенях и при частом переходе между формами из‑за усиления погрешностей угла и накопления ошибок.