Классическая формулировка (интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода):
$$\varphi (x)=f(x)+\lambda {\int }_a^{b}K(x,y)\varphi (y)dy.$$
1) Пример редукции к алгебраической системе (вырожденное ядро).
Пусть ядро ранга 1: $K(x,y)=xy$ на отрезке $[0,1]$. Тогда уравнение
$$\varphi (x)=f(x)+\lambda {\int }_0^{1}xy\varphi (y)dy$$ записывается как
$$\varphi (x)=f(x)+\lambda xc,c={\int }_0^{1}y\varphi (y)dy.$$ Подставляя определение $c$,
$$c={\int }_0^{1}yf(y)dy+\lambda {\int }_0^1{y}^{2}dyc.$$ Поскольку ${\int }_0^1{y}^{2}dy=\frac{1}{3}$, получаем
$$c=\frac{{\int }_0^{1}yf(y)dy}{1-\lambda /3},\text{при}1-\lambda /3\ne 0.$$ И окончательное решение
$$\varphi (x)=f(x)+\frac{\lambda x}{1-\lambda /3}{\int }_0^{1}yf(y)dy.$$ Если $1-\lambda /3=0$, однородное уравнение имеет ненулевое решение и необходимо рассматривать условия совместности (альтернатива Фредгольма).
Когда уместна редукция:
- если ядро вырожденно (конечнорангово), т.е. можно представить
$$K(x,y)=\sum _{i=1}^n{a}_i(x)b_i(y).$$ Тогда задача сводится к системе $n$ линейных алгебраических уравнений для коэффициентов типа $\int b_j(y)\varphi (y)dy$.
- или когда ядро аппроксимируется конечной суммой (методы Галерки/коллокаций) — тогда получение конечной СЛАУ даёт приближённое решение.
2) Метод ряда Неймана (резольвента).
Запись в операторной форме: $\varphi =(I-\lambda K{)}^{-1}f={\sum }_{m=0}^{\infty }(\lambda K{)}^{m}f$ — если ряд сходится. Критерий сходимости: требуется малая норма оператора $\lambda K$:
$$\Vert \lambda K\Vert <1.$$ Практически для различных пространств норма можно оценивать так:
- в $C([a,b])$ (с супремум-нормой) достаточно
$$|\lambda |\underset{x\in [a,b]}{\max }{\int }_a^b|K(x,y)|dy<1;$$ - в $L^2([a,b])$ достаточно (оценка через норму Хильберта–Шмидта)
$$|\lambda |\Vert K{\Vert }_{HS}<1,\Vert K{\Vert }_{HS}=({\int }_a^b{\int }_a^b|K(x,y){|}^{2}dxdy{)}^{1/2}.$$ Если эти неравенства выполняются, ряд Неймана даёт сходимое и единственное решение.
Ограничения метода Неймана:
- не работает, когда $1/\lambda$ — собственное значение оператора $K$ (т.е. $\det (I-\lambda K)=0$); тогда ряд расходится или даёт неоднозначность; требуется теория Фредгольма (альтернатива, разложение по собственным функциям, резольвент с сингулярностью).
- полезен при «малом» параметре $\lambda$ или «малой» величине ядра по выбранной норме.
3) Краткое руководство: какой метод когда применять
- Если ядро явно вырожденно (конечный ранг) — редукция к СЛАУ предпочтительна (точное решение, условие на детерминант).
- Если $|\lambda |\Vert K\Vert$ мало (по соответствующей норме) — используйте ряд Неймана (быстро сходится).
- Если ядро гладкое, компактный оператор и $\lambda$ близко к значению, обратному собственному числу, — применять теорию Фредгольма: искать собственные функции, вычислять резольвент, анализировать условия совместности; приближённо можно аппроксимировать ядро вырожденными ядрами и решать полученную СЛАУ с контролем погрешности.
4) Замечания о практической реализации
- Для численного решения часто аппроксимируют интеграл квадратурой + редукция к СЛАУ (метод коллокаций/метод Нистрема) — это фактически редукция к конечномерной системе; сходимость подвластна анализу погрешности аппроксимации.
- Для симметричных (или Гильберт–Шмидтовых) ядер удобно применять спектральные разложения и работу с собственными значениями.
Если нужно, могу разобрать другой конкретный пример (другое ядро или интервал) или показать применение критерия нормы для конкретного $K(x,y)$.