Ниже — набор упражнений с краткими указаниями и ответами. Везде изучается поведение при $(x,y)\to (0,0)$ (если не указано иное). Методы: вычислить итерационные пределы (фиксировать одну переменную, брать предел по другой), затем проверить предел по различным траекториям (чтобы установить отсутствие общего предела).
1) Пусть $f(x,y)=\frac{x}{x+y}$.
Задачи: вычислить $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f(x,y)$ и $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)$. Сделать вывод о существовании общего предела.
Ответ/пояснение: для фиксированного $x\ne 0$ имеем ${\lim }_{y\to 0}\frac{x}{x+y}=1$, поэтому $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f=1$. Для фиксированного $y\ne 0$ имеем ${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x+y}=0$, поэтому $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f=0$. Итерационные пределы различны, общего предела нет (например по траекториям $y=0$ даёт $1$, по $x=0$ — $0$).
2) Пусть $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$.
Задачи: вычислить итерационные пределы и показать, что общий предел не существует.
Ответ/пояснение: для фиксированного $x$ ${\lim }_{y\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2}=0$, поэтому $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f=0$. Аналогично в другом порядке тоже $0$. Но по линии $y=mx$ имеем $f(x,mx)=\frac{m}{1+m^2}$, поэтому разные значения при разных $m$ (например $m=1$ даёт $1/2$). Следовательно общий предел не существует, хотя итерационные пределы равны.
3) Двойная последовательность: $a_{m,n}=\frac{m}{m+n}$, $m,n\to \infty$.
Задачи: вычислить $\underset{m\to \infty }{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{m,n}$ и $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{m\to \infty }{\lim }{a}_{m,n}$.
Ответ/пояснение: при фиксированном $m$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{m}{m+n}=0$, затем ${\lim }_{m\to \infty }0=0$. В другом порядке: при фиксированном $n$ ${\lim }_{m\to \infty }\frac{m}{m+n}=1$, затем ${\lim }_{n\to \infty }1=1$. Итерационные пределы различны.
4) Пусть $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.
Задачи: найти итерационные пределы и сделать вывод о существовании общего предела.
Ответ/пояснение: при фиксированном $x\ne 0$ ${\lim }_{y\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=1$, отсюда $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{y\to 0}{\lim }f=1$. При фиксированном $y\ne 0$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=-1$, отсюда $\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f=-1$. Итерационные пределы разные, общего предела нет.
5) Упражнение-практика (самостоятельно): предложите функцию, где итерационные пределы равны, но общий предел не существует; покажите это. (Подсказка: посмотреть пример №2 и модифицировать так, чтобы внутренние пределы по одной переменной дают ноль при фиксированной другой переменной.)
6) Контрольный вопрос: для каждой из функций убедитесь формально, почему обмен предельных операций некорректен — либо вычислением итерационных пределов, либо подбором двух траекторий с разными пределами. Запишите короткое доказательство несоответствия.
Если нужно, могу прислать полные пошаговые решения для любого пункта или дополнительные примеры иной сложности.