Способы оценки $p$ и краткие рекомендации.
1) Точечные оценки
- Оценка максимального правдоподобия (MLE) / метод моментов:
$$\hat{p}=\frac{X}{n},X=\sum _{i=1}^n{Y}_i.$$ Свойства: несмещённа, $\mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}$. Для больших $n$ асимптотически нормальна.
- Байесовская точечная оценка (при Beta-приоре $\mathrm{Beta}(a,b)$):
- апостериорное распределение: $\mathrm{Beta}(a+X,b+n-X)$.
- апостериорное среднее:
$$\mathbb{E}[p\mid X]=\frac{a+X}{a+b+n}.$$ - MAP (если $a+X>1,b+n-X>1$):
$$p_{\mathrm{MAP}}=\frac{a+X-1}{a+b+n-2}.$$
2) Интервальные оценки (интервалы доверительные / доверительные и апостериорные)
- Вольд (Wald) — нормальная аппроксимация:
$$\hat{p}\pm z_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.$$ Быстро считается, но плохо себя ведёт при малых $n$ или при $\hat{p}$ близком к $0$ или $1$.
- Wilson (лучше чем Wald при малых $n$):
Пусть $z=z_{1-\alpha /2}$. Центр и полуширина:
$$\tilde{p}=\frac{\hat{p}+\frac{z^2}{2n}}{1+\frac{z^2}{n}},\text{половина ширины}=\frac{z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}}}{1+\frac{z^2}{n}}.$$
- Agresti–Coull (псевдосчёты):
$$\tilde{p}=\frac{X+\frac{z^2}{2}}{n+z^2},$$ дальше применяют нормальную формулу к $\tilde{p}$.
- Clopper–Pearson («точный» биномиальный доверительный интервал):
Для уровня $1-\alpha$ границы через обратную функцию бета:
$$\text{Lower}={\mathrm{B}}^{-1}\left(\frac{\alpha }{2};X,n-X+1\right),\text{Upper}={\mathrm{B}}^{-1}\left(1-\frac{\alpha }{2};X+1,n-X\right).$$ Надёжный (непереходящий ниже заданного уровня), но консервативен.
- Байесовский (кредитные) интервалы: при $\mathrm{Beta}(a,b)$ апостериорный $(1-\alpha )$-интервал — квантили апостериорного $\mathrm{Beta}(a+X,b+n-X)$ (например, для непараметрической «Jeffreys»-приоры $a=b=1/2$ получаем хорошие частотные свойства).
3) Выбор метода — когда что предпочтительнее
- Частотный (MLE, Wilson, Clopper–Pearson) хорош при больших $n$ и отсутствии априорной информации; прост и имеет частотную интерпретацию.
- Bayesian предпочтителен, если:
- малая выборка или наблюдается $X=0$ или $X=n$ (крайние случаи), где нормальные приближения дают неверные интервалы;
- имеется достоверная априорная информация, которую нужно формально учесть;
- требуется прямая апостериорная вероятность событий (например, «вероятность, что $p>p_0$»);
- нужен простой последовательный (online) апдейт при приходе данных;
- модель становится иерархической (много групп) — байесовские иерархические модели естественны и стабилизируют оценки (shrinkage);
- требуется учёт потерь / оптимальное решение по критерию ожидаемой полезности (решения на основе апостериорного распределения).
Кроме того, для биномиальной задачи байесовский подход с Beta-приорой прост в вычислениях (конъюгированность) и часто даёт интервалы с хорошими частотными свойствами (например, Jeffreys-приора).
4) Практические рекомендации
- Если $n$ достаточно велико и $\hat{p}$ не близко к 0 или 1: MLE и Wilson/Agresti–Coull подойдут.
- Если $n$ мало или наблюдаются крайние результаты: используйте Clopper–Pearson или байесовский интервал с невырожденной приорой (Jeffreys $\mathrm{Beta}(1/2,1/2)$ как непараметрический выбор).
- Если есть информативная априорная информация или иерархия — однозначно байесовский подход.
Если нужно, могу привести код/шаги для вычисления конкретных интервалов или показательные примеры.