Геометрическое объяснение. Представьте комплексные числа $z,w$ как векторы в плоскости, длины которых равны $|z|,|w|$. Рисуя вектор $w$ с началом в конце $z$ (сложение «хвост-к-голове»), получаем треугольник со сторонами длины $|z|,|w|$ и $|z+w|$. Очевидно, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других, поэтому
$$|z+w|\le |z|+|w|.$$
Краткое алгебраическое доказательство (через квадрат длины). Пользуясь $|u{|}^2=u\overline{u}$,
$$|z+w{|}^2=(z+w)\overline{(z+w)}=|z{|}^2+|w{|}^2+2\Re (z\overline{w}).$$ Так как $\Re (z\overline{w})\le |z\overline{w}|=|z||w|$, получаем
$$|z+w{|}^2\le |z{|}^2+|w{|}^2+2|z||w|=(|z|+|w|{)}^2,$$ откуда берётся требуемое неравенство.
Случаи равенства. Равенство $|z+w|=|z|+|w|$ происходит тогда и только тогда, когда $\Re (z\overline{w})=|z||w|$. При ненулевых $z,w$ это эквивалентно тому, что $z\overline{w}$ — неотрицательное действительное число, то есть векторы коллинеарны и направлены одинаково. Эквивалентно: существует $t\ge 0$ такой, что $z=tw$. Естественные особые случаи: $z=0$ или $w=0$.
Обобщения на нормы в линейных пространствах.
- В любом нормированном линейном пространстве $(V,\Vert \cdot \Vert )$ норма по определению удовлетворяет неравенству треугольника
$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert \forall x,y\in V.$$ - Внутренне-пространства (с скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$) получают это из неравенства Коши–Буняковского:
$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\Re ⟨x,y⟩\le \Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert =(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2.$$ Равенство здесь эквивалентно $\Re ⟨x,y⟩=\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, т.е. $x$ и $y$ положительно линейно зависимы.
- Для пространств функций (например $L^p$, $p\ge 1$) треугольное неравенство даёт теорема Минковского (специальный метод доказательства для каждого $p$).
- Замечание о равенствах в общем: характер случаев равенства зависит от выбранной нормы. Норма называется строго выпуклой, если из $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ (и ненулевых $x,y$) следует, что $x$ и $y$ коллинеарны и направлены одинаково. Для общих банаховых пространств критерии равенства сложнее и зависят от геометрии единичной сферы.