Классический критерий (Лейбница):
- Если $a_n>0$, $a_n$ монотонно убывают и ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$, то ряд
$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$ сходится. Оценка остатка: для частичной суммы $S_N$ и остатка $R_N={\sum }_{n=N+1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$ справедливо $|R_N|\le a_{N+1}.$
Абсолютная и условная сходимость:
- Если $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, то ряд сходится абсолютно.
- Многие ряды при нескорой убывающей $a_n$ не сходятся абсолютно, но сходятся условно (пример: альтернирующий гармонический ряд $\sum (-1{)}^{n+1}/n=\ln 2$).
Обобщения (полезные критерии):
- Критерий Дирихле: если $A_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k$ ограничены (т.е. ${\sup }_n|A_n|<\infty$) и $a_n\downarrow 0$, то $\sum a_n{b}_n$ сходится. Для $b_n=(-1{)}^{n+1}$ он даёт Лейбница.
- Критерий Абеля: если частичные суммы ${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ ограничены и $b_n$ монотонна и ограничена, то $\sum a_n{b}_n$ сходится.
Ослабление монотонности:
- Достаточно требовать не строгой монотонности, а конечной вариации: если $a_n\to 0$ и $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n+1}-a_n|<\infty$ (то есть последовательность $a_n$ имеет ограниченную вариацию), то ряд $\sum (-1{)}^{n+1}{a}_n$ сходится. Также достаточно, чтобы $a_n$ были монотонны начиная с некоторого номера («в конечном счёте монотонны»).
Пример, когда монотонность не обязательна:
- Пусть $a_n=\frac{1}{n}+\frac{(-1{)}^n}{n^2}$. Тогда $a_n/\downarrow$ (есть небольшие колебания), но $a_n\to 0$ и
$|a_{n+1}-a_n|=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, значит $\sum |a_{n+1}-a_n|<\infty$. По условию ограниченной вариации ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{a}_n$ сходится.