Необходимые условия (точно и кратко):
- Размеры: обе матрицы должны быть квадратными одного и того же порядка $n$. Иначе $\det (A)$ и $\det (B)$ не обоих определены и равенство в форме $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ имеет смысл только когда $A,B\in M_{n\times n}$.
- Количество и структура элементов: элементы должны принадлежать коммутативному кольцу (в частности полю, например $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$). Для стандартной теории достаточно поля; в произвольном некоммутативном кольце (например кватернионы) определитель и свойство мультипликативности требуют дополнительной оговорки и обычно не выполняются в привычной форме.
- Вырожденность: вырожденность (сингулярность) допускается — тогда $\det (A)=0$ или $\det (B)=0$ и тогда правая часть равна нулю; формула остаётся верной. Для невырожденных $A$ справедливо также $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$.
Краткое обоснование: формула $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ следует из определения детерминанта через симметризованный мультилинейный функционал (формула с перестановками) и из коммутативности скаляров; потому требуется, чтобы умножение скалярных коэффициентов было коммутативным.
Когда правило может выглядеть нарушенным в численных вычислениях (анализ и причины):
- Округления (плавающая запятая). В реальной арифметике IEEE-754 вычисления дают приближённые матрицы $\tilde{A},\tilde{B}$, и тогда обычно $\det (\tilde{A}\tilde{B})\ne \det (\tilde{A})\det (\tilde{B})$ из‑за ошибок округления.
- Плохая обусловленность. Детерминант чувствителен: при близкой к сингулярной матрице малые относительные ошибки в элементах дают большие относительные ошибки в $\det$. Приближённая оценка: относительная ошибка детерминанта растёт пропорционально $n$ и обусловленности матрицы (упрощённо) — поэтому для плохо обусловленных матриц численная проверка может «сломать» равенство.
- Переполнение/потеря разрядности при умножении диагоналей. При вычислении детерминанта через LU: $\det (A)=\mathrm{sgn}(P){\prod }_{i=1}^n{u}_{ii}$. Если диагональные элементы $u_{ii}$ очень большие или очень маленькие, их прямое перемножение может привести к переполнению/андерфлову. Решение: работать с суммой логарифмов: $\log |\det (A)|={\sum }_{i=1}^n\log |u_{ii}|$.
- Пропуск учёта перестановок в LU-разложении. Если в разложении использованы перестановки строк, нужно учесть множитель $\mathrm{sgn}(P)=\pm 1$. Иначе знак детерминанта будет неверным.
- Целочисленная арифметика и переполнение целых типов. Если det считается в фиксированной целочисленной арифметике, может произойти переполнение.
- Некорректная реализация или использование функций, возвращающих, например, «лог-детерминант» без восстановления знака, или вычисляющих $\det$ в разной точности для $A,B$ и $AB$.
Наглядные примеры (коротко):
- Близко к сингулярной матрице: пусть $A$ имеет почти совпадающие строки, тогда истинный $\det (A)$ очень мал, но вычисленный в двойной точности может дать ноль (катастрофическое вычитание).
- Переполнение при перемножении диагоналей: если диагонали $u_{ii}$ большие по модулю, прямо $\prod u_{ii}$ может переполнить, тогда $\det (A)$ окажется NaN/Inf, хотя $\det (AB)$ для комбинированной матрицы может быть нормальным числом.
Рекомендации для практики:
- Использовать проверенные численные библиотеки (LAPACK), учитывать знак перестановки при LU.
- Вычислять логарифм модуля детерминанта через LU: $\log |\det (A)|={\sum }_i\log |u_{ii}|$ и отдельно знак.
- При необходимости — повышать точность (long double, произвольная точность) или использовать алгоритмы, избегающие вычисления детерминанта напрямую (например, проверка невырожденности через условие обратимости).
- Оценивать обусловленность через $\kappa (A)=\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert$ и помнить, что при большой $\kappa (A)$ значение детерминанта ненадёжно.
Короткое резюме: требование — квадратные матрицы одного порядка над коммутативным полем (или кольцом, где определитель стандартно задан). Формула верна теоретически всегда в этой ситуации, но в плавающей арифметике может «выглядеть нарушенной» из‑за округления, плохой обусловленности, переполнения/андерфлова и ошибок в реализации.