Утверждение неверно. Примеры-контрпримеры:
- для $a=b=1$: $\sqrt{a+b}=\sqrt{2}\approx 1.414$, а $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1+1=2$;
- для $a=4,b=9$: $\sqrt{13}\approx 3.606$, а $\sqrt{a}+\sqrt{b}=2+3=5$.
Причина ошибки: функция корня не линейна, т.е. в общем случае нельзя «распределять» корень по сумме.
Правильное утверждение и доказательство. Для $a,b\ge 0$ $$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b,$$ следовательно, так как обе стороны неотрицательны,
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}.$$ Равнось достигается тогда и только тогда, когда $2\sqrt{ab}=0$, то есть когда $ab=0$ (то есть хотя бы одно из чисел равно нулю). Следовательно $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ только в тривиальных случаях с $a=0$ или $b=0$.