Кратко: на отрезке $(-\pi /2,\pi /2)$ уравнение $\tan x=2x$ имеет ровно три корня: тривиальный $x=0$ и две ненулевые симметричные точки $\pm x_0$, где $x_0\in (0,\pi /2)$. При этом в полукруге $(0,\pi /2)$ ровно один положительный корень. Далее — доказательство единственности положительного корня и рекомендации по численному поиску.
Доказательство единственности положительного корня
- Ввожу функцию
$$h(x)=\frac{\tan x}{x},x\in (0,\pi /2).$$ Тогда ненулевые решения соответствуют уравнению $h(x)=2$.
- Покажем, что $h$ строго возрастающая на $(0,\pi /2)$. Рассмотрим $g(x)=\ln (\tan x)-\ln x$. Тогда
$$g^{\prime }(x)=\frac{{\sec }^{2}x}{\tan x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{1}{x}.$$ Но для $x\in (0,\pi /2)$ имеет место неравенство $\sin 2x<2x$, значит
$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x<x,$$ откуда $g^{\prime }(x)>0$. Следовательно $g$ (а значит и $h=\exp g$) строго возрастает.
- Значения на концах: ${\lim }_{x\to 0+}h(x)=1$, ${\lim }_{x\to \pi /2-}h(x)=+\infty$. Поскольку $h$ непрерывна и строго возрастает от $1$ до $+\infty$, уравнение $h(x)=2$ имеет ровно одно решение в $(0,\pi /2)$.
- Используя нечетность $\tan (-x)=-\tan x$ и линейности правой части, получаем симметричное значение в $(-\pi /2,0)$, а $x=0$ — очевидный корень. Итого три корня на $(-\pi /2,\pi /2)$.
Численные стратегии для нахождения положительного корня $x_0$ 1. Предварительное отсеивание и бруксировка (bracketing)
- Найдите отрезок $[a,b]\subset (0,\pi /2)$ с изменением знака для $f(x)=\tan x-2x$. Например, $f(1)=\tan 1-2<0$, $f(1.2)=\tan 1.2-2.4>0$, значит корень в $[1,1.2]$.
- Метод половинного деления (bisection) даёт гарантированную сходимость и легко реализуется; скорость линейная, но надёжна.
2. Метод Ньютона (быстрая локальная сходимость)
- Итерация:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{\tan x_n-2x_n}{{\sec }^2{x}_n-2}.$$ - Замечания: прямое применение может быть плохо, если знаменатель близок к нулю. Действительно, $f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x-2$ обращается в ноль при $x=\pm \pi /4$; поэтому не начинать итерацию слишком близко к $\pi /4$. Лучше сначала сузить интервал методом бисекции, а затем перейти на Ньютон, когда гарантировано, что итерации не пройдут через критическую точку.
3. Метод секущих / регула falsi
- Пригоден, если нет удобного производного или опасаетесь деления на малое значение; сходимость супрэмлинейная (секущие) или медленно-надёжная (regula falsi), можно комбинировать с бруксировкой.
4. Гибридные методы
- Комбинировать бисекцию на первых шагах для гарантии, затем Ньютон для квадратичной сходимости (как в реализации библиотек типа scipy’s brentq/Brent).
Практические замечания и осторожности
- Избегайте попадания итераций вблизи вертикальной асимптоты $x\to \pi /2$, где $\tan x$ и ${\sec }^{2}x$ растут очень быстро и вычисления теряют точность.
- Проверяйте, что итерации остаются в допустимой ветви $(-\pi /2,\pi /2)$ и не перескакивают через разрыв.
- Для требуемой точности $\epsilon$ можно сначала выполнить достаточное число бруксирований, чтобы интервал длины $\Delta \le \epsilon$, либо довести до машинной точности с Ньютоном, контролируя изменение шага.
- Пример численного результата: положительный корень примерно
$$x_0\approx 1.165561185\dots$$ (тогда остальные корни на данном отрезке — $-x_0$ и $0$).
Краткий алгоритм на практике
- Найти брусок $[a,b]$ с $f(a)\cdot f(b)<0$ (например $[1,1.2]$).
- Провести несколько шагов бисекции (или Brent) до достаточно малого отрезка.
- Перейти на Ньютон с начальным приближением из полученного интервала для быстрого уточнения.
- Контролировать, чтобы знаменатель в Ньютоне ${\sec }^2{x}_n-2$ не был слишком мал; при этом возвращаться к бисекции/секанту при необходимости.
Это всё кратко и достаточно для строгого доказательства единственности положительного корня и практического его нахождения с высокой точностью.