Предположение: 10 различных книг, 3 определённых тома должны стоять подряд (внутри блока — в любом порядке).
1) Подход «суперкнига». Сжимаем три тома в один блок + остаётся ещё 7 отдельных книг, всего $8$ объектов. Число перестановок этих $8$ объектов равно $8!$. Внутри блока три тома можно переставить $3!$ способами. Итого
$$8!\cdot 3!.$$ Численно: $8!=40320,3!=6\Rightarrow 8!\cdot 3!=241,920.$
2) Подход «размещение блока по местам». Выберем начальную позицию блока длины 3: есть $8$ вариантов (позиции $1,\dots ,8$). Внутри блока — $3!$ перестановок. Оставшиеся 7 книг разместим в оставшихся 7 местах: $7!$. Итого
$$8\cdot 3!\cdot 7!.$$ Поскольку $8\cdot 7!=8!$, это равно предыдущему результату: $8!\cdot 3!$.
Типичные ученические ошибки:
- Забыть умножить на $3!$ (ученики считают только $8!$ или $8\cdot 7!$), что даёт недоучёт.
- Умножать дополнительно на $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)$ (как будто нужно выбрать тройку книг), что даёт лишний множитель — неверно, если тройка задана заранее.
- Делиться на $3!$ или применять деление вместо умножения (ошибка при неправильном понимании различимости).
- Не учесть, что если три тома одинаковые, то внутренняя перестановка не учитывается и ответ был бы просто $8!$.
Вывод: корректный ответ при заданных условиях — $8!\cdot 3!=241,920.$