Коротко и по существу.
1) Условия и стандартная подстановка
- Интеграл $\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ корректен при $|x|\le a$. Для него стандартно брать триг.подстановку
$$x=a\sin t,t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],$$ тогда $dx=a\cos tdt$ и $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$ (знак положителен при выбранном диапазоне $t$). Интеграл превращается в
$$\int a\cos t\cdot a\cos tdt=a^2\int {\cos }^{2}tdt=a^2\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt.$$ Интегрирование даёт (и после обратной подстановки $t=\arcsin (x/a)$):
$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C.$$
2) Когда удобнее использовать подстановку $x=a\sin t$ - Нужен общий неопределённый интеграл (символьный ответ).
- Интеграл входит в более сложное выражение, где приходится выполнять алгебраические/символьные преобразования.
- Хочется явного аналитического вида через элементарные функции ($\arcsin$ и т. п.).
- Когда удобно работать в диапазоне $|x|\le a$ и избегать модулей/абсолютных значений (выбранный диапазон для $t$ даёт $\cos t\ge 0$).
3) Когда удобна геометрическая интерпретация
- Интеграл определённый и пределы совпадают с геометрическими границами круга/полукруга, например
$${\int }_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx$$ — это площадь полукруга радиуса $a$, равная $\frac{\pi a^2}{2}$. Такой ответ получают значительно проще геометрически, чем через подстановку.
- Нужна только числовая константа (площадь) для конкретных пределов, особенно при симметричных пределах.
- Когда контекст явно связан с геометрией круга (площади, длины по хорде и т.п.).
4) Практические советы и замечания
- Для неопределённого интеграла: предпочитайте $x=a\sin t$ (или $x=a\cos t$ с корректным диапазоном $t$) — это стандартный и надёжный путь.
- Для определённого интеграла проверьте, не даёт ли геометрия готовый ответ быстрее (симметрия, полукруги, сегменты круга).
- Следите за областью определения и знаком корня: выбирайте интервал $t$, где $\cos t$ имеет нужный знак, чтобы не вводить лишние абсолютные значения.
- Если подынтегральное выражение изменено (например $\sqrt{x^2-a^2}$), подходят другие подстановки (гиперболические или $x=a\sec t$).
Итого: триг.подстановка — универсальный инструмент для получения антипроизводной; геометрия — быстрый трюк для определённых интегралов, связанных с кругом.