1) Проведите из точки $A$ произвольный луч $l$, не совпадающий с $AB$.
2) На луче $l$ отложите точку $P$ так, чтобы $AP$ — произвольная ненулевая «единица» (любая длина).
3) В точке $P$ постройте перпендикуляр к $l$. На этом перпендикуляре отложите точку $R$ так, чтобы $PR=AP$ (переносом циркуля).
4) Соедините $A$ с $R$. Тогда $AR=\sqrt{(AP{)}^2+(PR{)}^2}=\sqrt{2}AP$.
5) Перенесите длину $AR$ на луч $l$: возьмите центр в $A$ и радиус $AR$, найдите на луче точку $S$ с $AS=AR=\sqrt{2}AP$.
6) От точки $S$ по лучу отложите ещё одну длину, равную $AP$ (переносом циркуля): получится точка $Q$ с $AQ=AS+SQ=(\sqrt{2}+1)AP$.
7) Соедините $Q$ с $B$. Через точку $S$ проведите прямую, параллельную $QB$; она пересечёт отрезок $AB$ в нужной точке $C$.
Обоснование: по теореме о пропорциональности сторон при параллельных прямых треугольники $△AMC$ и $△ANB$ подобны (здесь $M\equiv S$, $N\equiv Q$), поэтому
$$\frac{AC}{AB}=\frac{AS}{AQ}=\frac{\sqrt{2}AP}{(\sqrt{2}+1)AP}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}.$$ Отсюда
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AC}{AB-AC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}}{1-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{1},$$ что и требовалось.