Утверждение и доказательство
- Утверждение: «если последовательность сходится, то она ограничена».
- Доказательство. Пусть $x_n\to L$. Возьмём $\epsilon =1$. Тогда существует $N$ такое, что для всех $n\ge N$ выполнено $|x_n-L|<1$, значит для таких $n$ имеем $|x_n|\le |L|+1$. Поскольку первые $N-1$ членов конечное множество, существует число $M$, которое больше модулей всех первых членов. Тогда для всех $n$ $|x_n|\le \max (M,|L|+1)$, то есть последовательность ограничена.
Контрпримеры к обратному (то, что ограничена ⇒ сходится — неверно)
- $x_n=(-1{)}^n$. Последовательность ограничена ($|x_n|\le 1$) но не имеет предела, потому что подпоследовательности чётных и нечётных индексов имеют разные пределы $1$ и $-1$.
- $x_n=\sin n$. Она тоже лежит в $[-1,1]$ и не сходится (нет предела; множество её предельных точек бесчисленно).
- Можно также перечислить рационалы в $[0,1]$: последовательность ограничена, но не сходится.
Условия, при которых обратное становится истинным
- Монотонность + ограниченность (теорема о монотонной последовательности): если $x_n$ монотонно неубывает и ограничена сверху, то $x_n$ сходится к $\sup \{x_n\}$. Аналогично для не возраст. и ограничена снизу.
- Cauchy + полнота пространства: любое Cauchy-последовательность ограничена; в полном метрическом пространстве любая Cauchy-последовательность сходится. Поэтому в полном пространстве условие «Cauchy» (не «ограничена») гарантирует сходимость. (Обычное bounded не даёт Cauchy.)
- Компактность и единственность предельной точки: если последовательность лежит в компактном множестве (в $\mathbb{R}$ это эквивалентно замкнутости и ограниченности), то по теореме Больцано—Вейерштрасса у неё есть сходящаяся подпоследовательность; чтобы сама последовательность сходилась, достаточно дополнительно требовать, что множество её предельных точек состоит из единственного элемента (тогда весь ряд сходится к этой точке).
- В $\mathbb{R}$ полезная формулировка: «ограничена» сама по себе не достаточна; достаточно добавить одно из условий: монотонность, или требование Cauchy (в полном пространстве), или требование единственности предельной точки.
Краткие выводы
- Сходимость ⇒ ограниченность — верно (доказано).
- Ограниченность ⇒ сходимость — в общем неверно; нужны дополнительные условия (монотонность, Cauchy в полном пространстве, или компактично + единственная предельная точка и т. п.).