Способы (коротко с формулами и числом):
1) Закон косинусов сначала для стороны $a=BC$:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,b=10,c=7,A=60^{\circ }$$ Подставляя: $a^2=100+49-2\cdot 10\cdot 7\cdot \cos 60^{\circ }=149-70=79$, т.е. $a=\sqrt{79}\approx 8.888194417$.
Затем углы через косинусы:
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ Численно: $\cos B=\frac{28}{14\sqrt{79}}=\frac{2}{\sqrt{79}}\approx 0.224859\Rightarrow B\approx 77.01^{\circ }$;
$\cos C\approx 0.73156\Rightarrow C\approx 42.99^{\circ }$.
2) Закон синусов (альтернатива):
$$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a}\Rightarrow \sin B=b\frac{\sin A}{a}.$$ Подставляя: $\sin B=10\frac{\sin 60^{\circ }}{\sqrt{79}}\approx 0.9744$, $B=\arcsin (0.9744)\approx 76.99^{\circ }$ (возможна дополнительная проверка на дополнительный корень $180^{\circ }-B$).
3) Геометрически/векторно: вычислить угол между векторами $AB$ и $CB$ или использовать $atan2$ для устойчивого вычисления углов без неоднозначности знака косинуса/синуса.
Возможные погрешности при численных методах:
- Округления при вычислении \sqrt{\ } и тригонометрических функций (обычно крайне малы при двойной точности, порядка $10^{-15}$ в относительном выражении).
- При использовании закона синусов — неоднозначность $\arcsin$ (второй возможный корень $180^{\circ }-B$); может привести к ошибке на десятки градусов, если не проверить.
- Катастрофическое вычитание при близких по величине числах в формулах косинусов (плохо ведёт себя при очень острых/тупых углах).
- Ошибки при переводе радиан/градусов.
Как проверить корректность результата (рекомендуемые проверки):
- Сумма углов: $A+B+C=180^{\circ }$ (проверить с допустимой погрешностью, например $10^{-8}$°).
- Восстановить стороны по найденным углам через закон синусов: $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ и сравнить с исходными $b,c$.
- Сравнить значения углов, полученные разными методами (косинусы vs синусы); если расходятся — проблема с выбором ветви $\arcsin$ или с потерей точности.
- Убедиться в выполнении неравенств треугольника: $b+c>a$, и т.д.
Итог (числа): $B\approx 77.01^{\circ },C\approx 42.99^{\circ }$.