Утверждение ложно.
Контрпримеры:
- $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ (оба множителя иррациональны, произведение рационально).
- $\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=1$ (оба иррациональны, произведение рационально).
- $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
- $\pi \cdot \frac{1}{\pi }=1$.
Классические методы построения таких примеров:
1. Метод обратного множителя. Для любого ненулевого иррационального $x$ и любого ненулевого рационального $q\in \mathbb{Q}$ положить $y=\frac{q}{x}$. Тогда $x$ иррационально, $y$ тоже иррационально (иначе $x=q/y$ было бы рациональным), а $xy=q$ — рационально. Это даёт бесконечно много примеров (в частности $q=1$ даёт пары вида $x$ и $1/x$).
2. Метод совпадающих корней. Если взять одинаковые иррационалы $x$, то $x\cdot x=x^2$ может быть рациональным (например $x=\sqrt{2}\Rightarrow x^2=2$).
3. Метод радикалов/алгебраических соотношений. Подобрать иррационалы так, чтобы подкоренное произведение было полным квадратом, например $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ с $ab$ — полный квадрат (как в примере $\sqrt{2}$ и $\sqrt{8}$).
4. Трансцендентный пример: любые трансцендентные числа и их обратные, например $\pi$ и $1/\pi$.
Замечание: продукт двух иррационалов может быть как рациональным, так и иррациональным (например $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$ — иррационально). Всё зависит от конкретной связи между множителями.