Рассмотрим функцию $f(x)=e^x-x-2$. Тогда корни уравнения $e^x=x+2$ — это нули $f$.
Анализ числа корней (кратко):
- $f^{\prime }(x)=e^x-1$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$. Значит $f^{\prime }$ обнуляется только в $x=0$ и это единственный критический пункт; поскольку $f^{\prime \prime }(0)=1>0$, в $x=0$ — строгий локальный минимум.
- $f(0)=1-0-2=-1<0$.
- $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.
Поскольку на концах оси функция положительна, в минимуме отрицательна, по непрерывности и единственности минимума корней ровно два.
Графический метод:
- Построить графики $y=e^x$ и $y=x+2$. Пересечения двух графиков дают два решения (один слева от 0, другой — справа).
Аналитические методы для оценки и приближённого нахождения корней:
1) Бисекция (надёжно, медленно). По знакам:
- $f(-2)=e^{-2}+2-2=e^{-2}\approx 0.1353>0$, $f(-1)=e^{-1}+1-2=e^{-1}-1\approx -0.6321<0$ ⇒ левый корень в отрезке $[-2,-1]$.
- $f(1)=e-3\approx -0.2817<0$, $f(2)=e^2-4\approx 3.389>0$ ⇒ правый корень в $[1,2]$.
2) Метод Ньютона (быстрее). Формула:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{e^{x_n}-x_n-2}{e^{x_n}-1}.$$ Пример с быстрыми итерациями даёт приближения
$$x_{\text{лев}}\approx -1.8414,x_{\text{прав}}\approx \mathrm{1.1459.}$$ 3) Метод простой итерации (фиксированная точка): можно переписать как $x=\varphi (x)=e^x-2$, но сходимость не гарантирована (нужен $|{\varphi }^{\prime }(x)|<1$ в окрестности корня; здесь ${\varphi }^{\prime }(x)=e^x$ зачастую >1, поэтому этот метод обычно не подходит).
4) Гибридные подходы: сначала бисекция для грубого отреза, затем несколько шагов Ньютона для квадратичной сходимости.
Итого: ровно два решения на $\mathbb{R}$, приблизительные значения $x\approx -1.8414$ и $x\approx 1.1459$.