Кратко и по пунктам.
1) Формулировка (Лагранж). Если функция $f$ имеет производные до порядка $n+1$ на интервале, содержащем точки $a$ и $x$, то
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+R_{n+1}(x),$$ где существует $\xi$ между $a$ и $x$ такой, что
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$
2) Гладкостные требования.
- Для вывода формы Лагранжа требуется существование производной порядка $n+1$ на открытом интервале между $a$ и $x$. Часто предъявляют сильнее: $f\in C^{n+1}$ в некоторой окрестности точки $a$ (т. е. $f^{(n+1)}$ непрерывна), чтобы использовать теорему о среднем значении и получать единство $\xi$ и непрерывное поведение остатка.
- Для равномерных оценок на отрезке $[a,b]$ нужно, чтобы $f^{(n+1)}$ была ограничена на этом отрезке.
3) На что влияет выбор степени $n$.
- Степень $n$ определяет порядок малости остатка: $R_{n+1}(x)=O((x-a{)}^{n+1})$ при фиксированном поведении производных. Чем больше $n$, тем быстрее падает фактический множитель $(x-a{)}^{n+1}$, но при этом в оценке фигурирует фактор $(n+1)!$ в знаменателе и значение производной $f^{(n+1)}$.
- Для аналитических функций (степенные ряды с радиусом сходимости) при росте $n$ остаток стремится к нулю внутри радиуса сходимости; для общих $C^{\infty }$-функций ряд может не сходиться к $f$ даже если все производные есть.
4) Как контролировать величину остатка на практике.
- Если на отрезке между $a$ и $x$ справедливо $|f^{(n+1)}(t)|\le M$, то из формулы Лагранжа следует строгая оценка
$$|R_{n+1}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a{|}^{n+1}.$$ Это основная практическая оценка — нужно оценить или оценить сверху $M$.
- Для выбора $n$ при заданной точности $\epsilon$ решают неравенство
$$\frac{M}{(n+1)!}|x-a{|}^{n+1}\le \epsilon .$$ - Для чередующихся рядов (например, разложение $\sin$, $\cos$) можно применить оценку знакоперемённого ряда: модуль остатка не превосходит модуля первого отброшенного члена, если модули членов монотонно убывают.
- Альтернативные формы остатка (интегральная) дают иногда удобные оценки:
$$R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}{\int }_a^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^{n}dt,$$ что полезно для получения оценок при известной структуре $f^{(n+1)}$.
5) Советы и замечания.
- Для равномерной аппроксимации на интервале нужно знать глобальную оценку $M$ для $f^{(n+1)}$ на этом интервале.
- Быстрое увеличение $(n+1)!$ обычно делает остаток малым при разумных размерах $|x-a|$, но если $f^{(n+1)}$ растёт очень быстро, увеличение $n$ не обязательно уменьшит остаток.
- Для аналитичности и радиуса сходимости полезно рассмотреть комплексное продолжение и оценки через формулу Коши для производных.
Если нужно — приведу пример оценки остатка для конкретной функции (например, $e^x$, $\sin x$, $\ln (1+x)$) или метод выбора минимального $n$ для заданной точности.