В треугольнике с заданными сторонами a, b, c опишите, как понять по числам, существует ли такой треугольник, является ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, и какие проверки наиболее надежны при численных вычислениях
В треугольнике с заданными сторонами a, b, c опишите, как понять по числам, существует ли такой треугольник, является ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, и какие проверки наиболее надежны при численных вычислениях
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
1) Условие существования (геометрическое): стороны должны быть положительными и выполнять неравенства треугольника:
a>0, b>0, c>0 a>0,\; b>0,\; c>0
a>0,b>0,c>0 и
a+b>c, a+c>b, b+c>a. a+b>c,\; a+c>b,\; b+c>a.
a+b>c,a+c>b,b+c>a. При численных вычислениях проверку лучше делать с допуском (tol) — см. п.4.
2) Выделение наибольшей стороны и классификация по углам (самая надёжная и простая схема): отсортировать стороны так, чтобы x≤y≤zx\le y\le zx≤y≤z (тогда zzz — наибольшая). Ввести
Δ=z2−(x2+y2). \Delta = z^2-(x^2+y^2).
Δ=z2−(x2+y2). Тогда
- если ∣Δ∣≤tol|\Delta|\le\text{tol}∣Δ∣≤tol — треугольник прямоугольный;
- если Δ<−tol\Delta<-\text{tol}Δ<−tol — остроугольный;
- если Δ>tol\Delta>\text{tol}Δ>tol — тупоугольный.
(Причина: косинусная теорема даёт знак угла по сравнению z2z^2z2 и x2+y2x^2+y^2x2+y2.)
3) Выявление вырожденного треугольника: если разность, например (x+y)−z(x+y)-z(x+y)−z, равна нулю (в пределах tol), то треугольник вырожден (плотно лежит на прямой) и обычно считается несуществующим для обычных задач.
4) Практические рекомендации по tol и численной стабильности:
- Во избежание переполнений/потерь точности предварительно масштабируйте стороны: делите все на M=max(a,b,c)M=\max(a,b,c)M=max(a,b,c). Тогда максимальная сторона станет 1, и вычисления устойчевы.
- Для сравнения используйте относительный допуск, основанный на машинном эпсилонe. Для double: mach_eps≈2.22⋅10−16\text{mach\_eps}\approx 2.22\cdot10^{-16}mach_eps≈2.22⋅10−16. Можно взять
tol=K⋅mach_eps⋅max(z2, x2+y2), \text{tol} = K\cdot\text{mach\_eps}\cdot\max(z^2,\,x^2+y^2),
tol=K⋅mach_eps⋅max(z2,x2+y2), где KKK — небольшое число (например 101010–100100100). Если предварительно масштабировали так, что max\maxmax примерно 1, достаточно tol≈10⋅mach_eps\text{tol}\approx 10\cdot\text{mach\_eps}tol≈10⋅mach_eps или практическая константа ∼10−15\sim 10^{-15}∼10−15–10−1210^{-12}10−12 в зависимости от строгости требований.
- Альтернатива: задавать абсолютный tol для исходных величин как tol=εrel⋅M\text{tol}=\varepsilon_{\text{rel}}\cdot Mtol=εrel ⋅M при проверке треугольных неравенств (например εrel=10−12\varepsilon_{\text{rel}}=10^{-12}εrel =10−12).
- Использование квадратов (как в п.2) предпочтительнее, чем вычисление углов через арккосинус, потому что избегает деления на маленькие произведения и лишних тригонометрических операций.
5) Пример алгоритма (вкратце):
- проверить M=max(a,b,c)>0M=\max(a,b,c)>0M=max(a,b,c)>0;
- нормировать a′,b′,c′=a/M,b/M,c/Ma',b',c'=a/M,b/M,c/Ma′,b′,c′=a/M,b/M,c/M;
- проверить a′+b′>c′+tola'+b'>c'+\text{tol}a′+b′>c′+tol (и аналоги) — иначе нет невырожденного треугольника;
- сортировать x≤y≤zx\le y\le zx≤y≤z;
- вычислить Δ=z2−(x2+y2)\Delta=z^2-(x^2+y^2)Δ=z2−(x2+y2) и сравнить с tol\text{tol}tol по правилу из п.2.
Это даёт надёжные численные проверки существования и типа треугольника.