Кратко: предел равен 0. Наиболее точное представление даёт комбинация рационализации и логарифмирования с асимптотическим разложением (т. е. рационализация → логарифм → разложение ln), потому что рационализация даёт точную малую величину основания, а логарифм переводит степень в множитель, что позволяет получить сколь угодно точную асимптику.
Доказательство и асимптика (сжато):
1) Рационализация:
$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},a_n=(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{)}^n.$$
2) Логарифм и разложение:
$$\ln a_n=-n\ln (\sqrt{n+1}+\sqrt{n}).$$ Поскольку $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=2\sqrt{n}(1+\frac{1}{4n}+O(n^{-2}))$, получаем
$$\ln (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=\ln 2+\frac{1}{2}\ln n+\frac{1}{4n}+o(1/n).$$ Умножая на $-n$,
$$\ln a_n=-n\ln 2-\frac{n}{2}\ln n-\frac{1}{4}+o(1).$$
3) Следствие:
$$a_n=\exp (-n\ln 2-\frac{n}{2}\ln n-\frac{1}{4}+o(1)),$$ откуда в частности $a_n\to 0$ при $n\to \infty$, и более точно
$$a_n\sim e^{-1/4}{2}^{-n}{n}^{-n/2}.$$
Комментарий по методам: простое сравнение с экспонентой или грубая оценка основания дают только факт стремления к нулю; для получения точного экспоненциального и множитель‑постоянного члена нужно рационализовать и логарифмировать с асимптотическим разложением.