1) Классический дискриминант (общая стратегия)
- Вычислить $\Delta =b^2-4ac$.
- Если $\Delta >0$ — два различных вещественных корня: $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
- Если $\Delta =0$ — один (двойной) вещественный корень: $x=-\frac{b}{2a}$.
- Если $\Delta <0$ — два комплексно-сопряжённых корня.
Обоснование: квадратное уравнение решается формулой квадратного корня, знак $\Delta$ напрямую определяет наличие действительного корня под корнем.
2) Случай $a=0$ (вырожденный случай)
- Если $a=0$ и $b\ne 0$ — линейное уравнение $bx+c=0$, корень $x=-\frac{c}{b}$.
- Если $a=b=0$ и $c\ne 0$ — решений нет; если $a=b=c=0$ — бесконечно много решений.
Обоснование: при $a=0$ степень уравнения падает до 1, применяем простую линейную теорию.
3) Vieta и знак корней (быстрая информация о знаках)
- Из Вьета: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.
- Если $c/a<0$ (т.е. $ac<0$) — корни действительные и разного знака (так как произведение отрицательно ⇒ оба не нулевые и противоположные по знаку); значит $\Delta >0$.
- Если $c=0$ — корни $0$ и $-\frac{b}{a}$.
Обоснование: суммы и произведения корней дают мгновенную информацию о знаках и нулевом корне без вычисления $\Delta$.
4) Завершающий сдвиг / приведение к каноническому виду (удобно при аналитике положения вершины)
- Подставить $x=y-\frac{b}{2a}$, тогда уравнение превращается в $a{\left(y\right)}^2=\frac{\Delta }{4a}$ или эквивалентно $a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a}$.
- По знаку правой части видно число корней: $\Delta >0$ — два симметричных относительно вершины, $\Delta =0$ — касание, $\Delta <0$ — нет вещественных.
Обоснование: удобно визуализировать как параболу, её вершину и пересечения с осью абсцисс.
5) Частные отношения между $a,b,c$ дающие простые выводы
- $b^2=4ac$ ⇒ двойной корень $x=-\frac{b}{2a}$.
- $b=0$ ⇒ $a{x}^2+c=0$ → $x^2=-\frac{c}{a}$: вещественные корни если и только если $-\frac{c}{a}\ge 0$ (т.е. $ac\le 0$).
- Все коэффициенты одного знака ($a,b,c>0$ или $a,b,c<0$) ⇒ нет положительных корней (по правилу знаков Декарта) и часто нет вещественных, проверяется по $\Delta$.
Обоснование: симметрия и нули в коэффициентах дают упрощённые формулы или логические выводы без дискриминанта.
6) Численная устойчивость (практическое вычисление корней)
- При вычислении корней по формуле избегать потери точности при вычитании: положим $q=-\frac{1}{2}(b+\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\Delta })$, тогда $x_1=\frac{q}{a}$, $x_2=\frac{c}{q}$.
Обоснование: уменьшает числовую ошибку при больших различиях по модулю между $b$ и $\sqrt{\Delta }$.
Краткая инструкция выбора стратегии:
- Общий случай — дискриминант.
- Если $a=0$ — переход к линейному.
- Если нужны лишь знаки/наличие нуля — Вьет и проверка $ac$.
- Для геометрического понимания положения корней — сдвиг и вершина.
- Для вычислений в плавающей точке — стабильная формула через $q$.