Кратко: в исходной постановке есть двусмысленность. Если C и D действительно лежат на отрезке $AB$ (коллинеарно), то векторы $AC$ и $AD$ коллинеарны и угол между ними равен $0$ или $\pi$ (в зависимости от направлений): тогда $AD=AC\pm CD$, т.е. $AD=x\pm z$ и угол тривиален. Если же точки расположены в общем положении (не все на одной прямой) или D определяется дополнительно (пересечением, высотой и т.п.), для нахождения угла $\angle CAD$ применимы следующие способы — с формулами и указанием, когда каждый удобен.
1) Координатный метод
- Поставьте $A=(0,0)$, положите прямую $AB$ на ось $x$: тогда $C=(x,0)$ и $B=(x+y,0)$. Запишите координаты $D=(u,v)$ в зависимости от дополнительных условий и найдите угол через скалярное произведение или аргументы комплексных чисел.
- Скалярное произведение: $\cos \angle CAD=\frac{(C-A)\cdot (D-A)}{|C-A||D-A|}=\frac{xu+0\cdot v}{x\sqrt{u^2+v^2}}=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$.
- Когда удобен: для численных задач и когда легко задать координаты (измерения, дополнительные уравнения).
2) Векторный метод (скалярное произведение)
- В общем виде $\cos \angle CAD=\frac{AC\cdot AD}{|AC||AD|}$.
- Если известны длины сторон треугольника $ACD$, используйте формулу через стороны (закон косинусов): $\cos \angle CAD=\frac{A{C}^2+A{D}^2-C{D}^2}{2\cdot AC\cdot AD}$. Подставьте $AC=x$ и известное $AD$ (см. примечание ниже).
- Когда удобен: алгебраические выкладки, символьные доказательства, переход к скалярным уравнениям.
3) Закон косинусов (чисто геометрический)
- В треугольнике $ACD$: $\cos \angle CAD=\frac{x^2+A{D}^2-z^2}{2x\cdot AD}$.
- Нужна длина $AD$. Если D лежит на отрезке $AB$, то $AD=|x\pm z|$ и подстановка даёт тривиальный результат; если D задана иначе, найдите $AD$ через дополнительные данные (например, через координаты или свойства пересечения).
- Когда удобен: когда известны три стороны треугольника или их можно выразить через данные.
4) Теоремы о соотношениях (менелев, чева, масса-точки, подобие)
- Если D задаётся как пересечение отрезков/цекв или делит стороны в известных отношениях, mass points или отношения подобия даёт выражения для отрезков и затем позволяет получить нужные длины и угол (через косинус или векторы).
- Когда удобен: задачи с отношениями отрезков, пересечениями, когда напрямую известны только отношения, а не абсолютные координаты.
5) Комплексная/тригонометрическая запись (для углов и поворотов)
- Представьте точки комплексными числами $a,c,d$. Угол $\angle CAD=\arg \frac{d-a}{c-a}$. Подходит, если операция поворота/масштаба используется в решении.
- Когда удобен: при работе с поворотами, композициями и при доказательстве равенств углов.
Примечание по неоднозначности данных: по одному набору чисел $x,y,z$ угол в общем случае не определён — требуется дополнительная информация о положении $D$ (коллинеарность, пересекающие прямые, высота, угол при $B$ и т.д.). Поэтому сначала установите конфигурацию (например, D на $AB$ или D вне прямой $AB$, D — пересечение с какой-то прямой), затем выбирайте метод: для явных чисел — координаты/векторы; для задач с отношениями/пересечениями — теоремы о соотношениях; для чисто угловых/поворотных — комплексные числа или тригонометрия.