Ответ: единственные целые решения $(x,y)$ уравнения $x^3-y^2=2$ — $(3,5)$ и $(3,-5)$.
Краткое обоснование «элементарным» методом (факторизация в кольце целых квадратичной формы):
- Перепишем как
$$y^2=x^3-2⟹x^3=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2})$$ в кольце $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Для поля $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ кольцо целых равно $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ и имеет класс-номер $1$ (UFD), поэтому факторизация уникальна.
- Любой общий делитель $d$ чисел $y+\sqrt{-2}$ и $y-\sqrt{-2}$ делит их разность $2\sqrt{-2}$ и сумму $2y$; отсюда $d$ ассоциирован с делителем числа $2$. Проверкой (или по локальному рассмотрению выше 2) следует, что нет нетривиального общего неприводимого делителя, т.е. $\gcd (y+\sqrt{-2},y-\sqrt{-2})$ — единица (ассоциат).
Поэтому в UFD каждое из множителей само должно быть кубом (с точностью до знака-единицы):
$$y+\sqrt{-2}=\pm (a+b\sqrt{-2}{)}^3\text{для целых}a,b.$$ - Разложим куб:
$$(a+b\sqrt{-2}{)}^3=(a^3-6a{b}^2)+(3a^{2}b-2b^3)\sqrt{-2}.$$ Так как коэффициент при $\sqrt{-2}$ справа равен $\pm 1$, получаем
$$b(3a^2-2b^2)=\pm 1.$$ Значит $b=\pm 1$ и $3a^2-2=\pm 1$. Отсюда $a^2=1$, т.е. $a=\pm 1$. Подстановкой получаем единственные варианты, дающие
$$y=\pm 5,x^3=y^2+2=27,$$ откуда $x=3$. Это даёт пары $(3,5)$ и $(3,-5)$.
Короткое сравнение с подходом через эллиптические кривые:
- Уравнение $y^2=x^3-2$ — типичная «кривая Морделля» (эллиптическая кривая) $E/\mathbb{Q}$. Методы теории эллиптических кривых (Mordell–Weil, спуск, теорема Лутца–Нагелла, вычисление ранга и базисных точек, или современные реализации в Sage/Magma) позволяют найти всю группу рациональных точек $E(\mathbb{Q})$ и затем выделить все целочисленные точки. Для этой кривой вычисления показывают, что все целочисленные точки соответствуют $(3,\pm 5)$.
- Преимущества эллиптического подхода: он систематичен, работает для широкого класса уравнений $y^2=x^3+k$ и даёт глобальную информацию (ранг, торсион). Недостаток: требует более тяжёлых аппаратов (спуск, вычисления ранга), часто привлекают компьютерную алгебру или глубокые теоремы.
- Преимущества «элементарного» подхода через $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$: короток и чист для этого конкретного случая благодаря тому, что $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ — UFD; даёт конструктивный конечный перебор. Недостаток: метод полагается на факт UFD(особые квадратичные поля) и не обобщается напрямую на все $k$.
Итог: оба подхода приводят к одним и тем же решениям $(3,\pm 5)$; для данной задачи факторизация в $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ даёт самый короткий «элементарный» аргумент.