Вычисление.
- Дифференцирование по параметру (самый простой способ). Для $a>-1$ $${\int }_0^1{x}^{a}dx=\frac{1}{a+1},I(a)={\int }_0^1{x}^a\ln xdx=\frac{d}{da}{\int }_0^1{x}^{a}dx=\frac{d}{da}\frac{1}{a+1}=-\frac{1}{(a+1{)}^2}.$$
- Интегрирование по частям (проверка). Пусть $u=\ln x,dv=x^{a}dx$. Тогда $v=\frac{x^{a+1}}{a+1}$ и
$$I(a)=[\frac{x^{a+1}\ln x}{a+1}{]}_0^1-\frac{1}{a+1}{\int }_0^1{x}^{a}dx=-\frac{1}{(a+1{)}^2},$$ так как $\ln 1=0$ и ${\lim }_{x\to 0+}{x}^{a+1}\ln x=0$ при $a>-1$.
- Через бета‑функцию: $I(a)={\partial }_{a}B(a+1,1)={\partial }_a\frac{1}{a+1}=-\frac{1}{(a+1{)}^2}$.
Дифференцируемость по параметру. Интеграл задаёт гладкую функцию для $a>-1$. Можно подставить под знаком интеграла производную по $a$ и использовать теорему о предельном переходе (на любом компактном множестве $a\ge a_0>-1$ функция $|x^a\ln x|\le x^{a_0}|\ln x|$ интегрируема), поэтому $I\in C^{\infty }((-1,\infty ))$. Общая формула для $k$-й производной:
$$I^{(k)}(a)=(-1{)}^{k+1}(k+1)!(a+1{)}^{-k-2}.$$
Пределы.
- При $a\to -1+$:
$$I(a)=-\frac{1}{(a+1{)}^2}\to -\infty .$$
- При $a\to +\infty$:
$$I(a)=-\frac{1}{(a+1{)}^2}\to 0^{-},$$ совпадает с наблюдением, что для фиксированного $x\in (0,1)$ имеет место $x^a\ln x\to 0$ при $a\to \infty$.