Ответ: множество решений x∈(−13,1)x\in\left(-\tfrac{1}{3},1\right)x∈(−31,1) (и x≠−1x\neq-1x=−1, но −1∉(−13,1)-1\notin(-\tfrac{1}{3},1)−1∈/(−31,1)). Методы и пояснения. 1) Квадратирование (более «универсально»). Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат (не забыть, что x≠−1x\neq-1x=−1): (x1+x)2<14⟹4x2(1+x)2<1.
\left(\frac{x}{1+x}\right)^2<\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4x^2}{(1+x)^2}<1. (1+xx)2<41⟹(1+x)24x2<1.
Так как (1+x)2>0(1+x)^2>0(1+x)2>0 при x≠−1x\neq-1x=−1, получаем 4x2<(1+x)2⇒4x2<x2+2x+1⇒3x2−2x−1<0.
4x^2<(1+x)^2 \Rightarrow 4x^2<x^2+2x+1 \Rightarrow 3x^2-2x-1<0. 4x2<(1+x)2⇒4x2<x2+2x+1⇒3x2−2x−1<0.
Корни квадратного многочлена: x=−13x=-\tfrac{1}{3}x=−31 и x=1x=1x=1. Поскольку парабола вверх, неравенство выполняется между корнями: −13<x<1,
-\tfrac{1}{3}<x<1, −31<x<1,
и x=−1x=-1x=−1 исключён как точка разрыва дроби. Итого x∈(−13,1)x\in(-\tfrac{1}{3},1)x∈(−31,1). 2) Разбиение по знаку знаменателя (прямой контроль знаков). - При 1+x>01+x>01+x>0 (то есть x>−1x>-1x>−1) имеем ∣x1+x∣=∣x∣1+x\left|\frac{x}{1+x}\right|=\frac{|x|}{1+x}1+xx=1+x∣x∣. Тогда ∣x∣1+x<12⇒∣x∣<1+x2.
\frac{|x|}{1+x}<\frac12 \Rightarrow |x|<\frac{1+x}{2}. 1+x∣x∣<21⇒∣x∣<21+x.
Два подслучая: x≥0x\ge0x≥0 даёт x<1x<1x<1 (т.е. 0≤x<10\le x<10≤x<1); x<0x<0x<0 даёт x>−13x>-\tfrac{1}{3}x>−31 (и вместе с x>−1x>-1x>−1 даёт −13<x<0-\tfrac{1}{3}<x<0−31<x<0). В сумме −13<x<1-\tfrac{1}{3}<x<1−31<x<1. - При 1+x<01+x<01+x<0 (то есть x<−1x<-1x<−1) аналогично получаетcя противоречие, решений нет. Возможные ошибки при умножении на выражения, зависящие от xxx: - Умножение обеих частей неравенства на 1+x1+x1+x без разделения на случаи может изменить знак неравенства, если 1+x<01+x<01+x<0. Нужно разделять на случаи по знаку знаменателя или умножать на (1+x)2(1+x)^2(1+x)2 (которое неотрицательно, но требует исключить x=−1x=-1x=−1). - Забыть исключить x=−1x=-1x=−1 (деление на ноль). - Неправильное использование операции «возведения в квадрат» при наличии отрицательных величин — здесь операция эквивалентна, потому что обе части неотрицательны, но всегда проверяйте область определения. - Ошибки при перекрёстном умножении дробей без учёта знаков знаменателей.
Методы и пояснения.
1) Квадратирование (более «универсально»). Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат (не забыть, что x≠−1x\neq-1x=−1):
(x1+x)2<14⟹4x2(1+x)2<1. \left(\frac{x}{1+x}\right)^2<\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad \frac{4x^2}{(1+x)^2}<1.
(1+xx )2<41 ⟹(1+x)24x2 <1. Так как (1+x)2>0(1+x)^2>0(1+x)2>0 при x≠−1x\neq-1x=−1, получаем
4x2<(1+x)2⇒4x2<x2+2x+1⇒3x2−2x−1<0. 4x^2<(1+x)^2 \Rightarrow 4x^2<x^2+2x+1 \Rightarrow 3x^2-2x-1<0.
4x2<(1+x)2⇒4x2<x2+2x+1⇒3x2−2x−1<0. Корни квадратного многочлена: x=−13x=-\tfrac{1}{3}x=−31 и x=1x=1x=1. Поскольку парабола вверх, неравенство выполняется между корнями:
−13<x<1, -\tfrac{1}{3}<x<1,
−31 <x<1, и x=−1x=-1x=−1 исключён как точка разрыва дроби. Итого x∈(−13,1)x\in(-\tfrac{1}{3},1)x∈(−31 ,1).
2) Разбиение по знаку знаменателя (прямой контроль знаков).
- При 1+x>01+x>01+x>0 (то есть x>−1x>-1x>−1) имеем ∣x1+x∣=∣x∣1+x\left|\frac{x}{1+x}\right|=\frac{|x|}{1+x} 1+xx =1+x∣x∣ . Тогда
∣x∣1+x<12⇒∣x∣<1+x2. \frac{|x|}{1+x}<\frac12 \Rightarrow |x|<\frac{1+x}{2}.
1+x∣x∣ <21 ⇒∣x∣<21+x . Два подслучая: x≥0x\ge0x≥0 даёт x<1x<1x<1 (т.е. 0≤x<10\le x<10≤x<1); x<0x<0x<0 даёт x>−13x>-\tfrac{1}{3}x>−31 (и вместе с x>−1x>-1x>−1 даёт −13<x<0-\tfrac{1}{3}<x<0−31 <x<0). В сумме −13<x<1-\tfrac{1}{3}<x<1−31 <x<1.
- При 1+x<01+x<01+x<0 (то есть x<−1x<-1x<−1) аналогично получаетcя противоречие, решений нет.
Возможные ошибки при умножении на выражения, зависящие от xxx:
- Умножение обеих частей неравенства на 1+x1+x1+x без разделения на случаи может изменить знак неравенства, если 1+x<01+x<01+x<0. Нужно разделять на случаи по знаку знаменателя или умножать на (1+x)2(1+x)^2(1+x)2 (которое неотрицательно, но требует исключить x=−1x=-1x=−1).
- Забыть исключить x=−1x=-1x=−1 (деление на ноль).
- Неправильное использование операции «возведения в квадрат» при наличии отрицательных величин — здесь операция эквивалентна, потому что обе части неотрицательны, но всегда проверяйте область определения.
- Ошибки при перекрёстном умножении дробей без учёта знаков знаменателей.