Обозначим частичную сумму $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$.
1) Телескопическое сокращение (через разность дробей).
Покажем частичное разложение:
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.$$ Суммируя по $k=1,\dots ,n$,
$$S_n=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$
2) Доказательство индукцией (альтернативный приём).
База $n=1$: $S_1=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$. Предположим $S_n=\frac{n}{n+1}$. Тогда
$$S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2},$$ что завершает индукцию. Следовательно $S_n=\frac{n}{n+1}$.
Краткое обсуждение обобщений и эффективности телескопического метода:
- Телескопический метод эффективен, когда член суммы можно представить в виде конечной разности последовательности, т.е. $a_k=b_k-b_{k+1}$. Тогда ${\sum }_{k=1}^n{a}_k=b_1-b_{n+1}$.
- Часто такое представление получают через частичные дроби для рациональных выражений. Например,
$$\frac{1}{k(k+r)}=\frac{1}{r}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+r}),$$ тоже даёт телескопирование.
- Ограничения: если нельзя представить член как конечную разность простых сдвинутых функций (или представление даёт много несокращающихся слагаемых), телескопия не помогает. Для бесконечных сумм требуется существование предела $b_{n+1}$ при $n\to \infty$ (тогда сумма равна $b_1-{\lim }_{n\to \infty }{b}_{n+1}$).
- В более общих случаях используют методы разностного исчисления, частичных дробей или преобразования Абеля, чтобы привести сумму к телескопическому виду или оценить её, если точное сокращение невозможно.