Кратко воспроизведу типичную ошибочную цепочку и укажу, где ошибка.
Ошибка: пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $\angle A$ и перпендикулярный биссектор отрезка $BC$ пересекаются в точке $O$. Доказывают так:
1) $OB=OC$ (по перпендикулярному биссектору).
2) $\angle BAO=\angle OAC$ (по биссектрисе).
3) $AO$ общая сторона.
Поэтому якобы $△AOB\cong △AOC$ и значит $AB=AC$.
Указание на ошибку: в треугольниках $△AOB$ и $△AOC$ равные стороны — $AO$ и $OB=OC$, а равный угол — $\angle BAO=\angle OAC$. Этот угол не заключён между равными сторонами $AO$ и $OB$ (то есть используется случай «сторона–сторона–не заключённый угол», SSA). SSA не является признаком конгруэнтности треугольников в общем случае, поэтому из данных равенств нельзя сделать вывод о равенстве треугольников и о $AB=AC$. Дополнительно точка $O$ может лежать вне треугольника, что нарушает очевидные соответствия углов/сторон.
Корректное рассуждение (правильное условие, при котором вывод верен):
Если прямая через $A$ одновременно является биссектрисой $\angle A$ и перпендикулярным биссектором отрезка $BC$, то $AB=AC$. Доказательство: прямая через $A$, являясь перпендикулярным биссектором $BC$, проходит через середину $M$ отрезка $BC$ и перпендикулярна $BC$. В прямоугольных треугольниках $△AMB$ и $△AMC$ имеем $AM$ общее, $MB=MC$ и углы при $M$ равны $90^{\circ }$. По признаку «гипотенуза‑катет» (или RHS) эти треугольники совпадают, поэтому $AB=AC$. Эквивалентно: отражение относительно этой прямой переводит $B$ в $C$ и фиксирует $A$, значит $AB=AC$.
Вывод: исходное «доказывание» равенства сторон неверно из‑за неправильного применения критерия конгруэнтности (SSA). Правильно доказывать равенство сторон через либо включённый угол (SAS/ASA), либо через симметрию/свойства медианы и перпендикуляра, как показано выше.