Про функцию $f(x)=x^x$ при $x>0$:
1) Производная и критические точки.
- Положив $f(x)=e^{x\ln x}$ получаем
$$f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1).$$ - Критическая точка где $f^{\prime }(x)=0$: $\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Поскольку $f^{\prime }(x)<0$ при $0<x<1/e$ и $f^{\prime }(x)>0$ при $x>1/e$, в точке $x=1/e$ у функции локальный минимум. Значение в минимуме:
$$f(1/e)=(1/e{)}^{1/e}=e^{-1/e}.$$
2) Вторая производная и выпуклость.
- Вторая производная:
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^x(\ln x+1))=x^x((\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}).$$ - Для всех $x>0$ выполнено $(\ln x+1{)}^2+\frac{1}{x}>0$, следовательно $f^{\prime \prime }(x)>0$ для всех $x>0$. Значит $f$ строго выпукла (вогнутость отсутствует) на $(0,\infty )$.
3) Поведение на концах.
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{x\ln x}=e^0=1,\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^x=+\infty .$$
4) Тонкости при продолжении на $x<0$.
- Представление $x^x=e^{x\ln x}$ требует логарифма $\ln x$. Для $x<0$ логарифм комплексный: $\ln x=\ln |x|+i(\pi +2\pi k)$. Тогда
$$x^x=e^{x(\ln |x|+i(\pi +2\pi k))}=e^{x\ln |x|}{e}^{ix(\pi +2\pi k)},$$ что в общем даёт многозначные комплексные значения.
- Реальные значения при $x<0$ возможны лишь для специальных $x$: например для целых $x$ выражение определено и реально ($(-n{)}^{-n}=1/(-n{)}^n$). Для рациональных $x=p/q$ (в несокращённом виде) реальная смысловая интерпретация через действительные корни возможна, когда знаменатель $q$ нечётен (тогда $q$-й корень из отрицательного числа — действительное). Для иррациональных $x<0$ нет вещественного смысла.
- Стандартное комплексное продолжение даёт главный (однозначный) вариант при выборе главной ветви логарифма $\mathrm{Log}z$ с разрывом (ветвью) по отрицательной полуоси: на отрицательной оси результат обычно комплексен ($e^{i\pi x}{e}^{x\ln |x|}$). Поэтому нельзя получить единственное непрерывное вещественное продолжение $x^x$ через 0 на всю ось: поведение слева зависит от выбранной ветви и от множества точек, по которым приближаются к нулю.
Кратко: на $(0,\infty )$ имеем $f^{\prime }(x)=x^x(\ln x+1)$, единственная критическая точка $x=1/e$ (локальный минимум), $f$ строго возрастает на $(1/e,\infty )$, строго убывает на $(0,1/e)$ и строго выпукла на всём $(0,\infty )$. Продолжение на $x<0$ приводит к многозначности и в общем к комплексным значениям; вещественное продолжение возможно лишь в отдельных случаях (целые, некоторые рациональные с нечётным знаменателем).