Ответ: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (ax)}{x}=a$ для любого вещественного $a$.
Аргументы.
1) Ряд Тейлора (формально и коротко). Для малых аргументов $\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+O(z^5)$. Подставляя $z=ax$,
$$\frac{\sin (ax)}{x}=a-\frac{a^3{x}^2}{3!}+O(x^4).$$ При $x\to 0$ все члены, умноженные на положі́тные степени $x$, исчезают, поэтому предел равен $a$.
2) Геометрическая оценка (классическая для вещественных аргументов). Для $y\in (0,\pi /2)$ имеют место неравенства $\sin y<y<\tan y$. Из второй неравенствa $\frac{\sin y}{\cos y}>y$ получаем
$$\cos y<\frac{\sin y}{y}<1.$$ Аналогично для $y<0$ те же неравенства (с учётом нечётности/чётности) дают ту же двустороннюю оценку. Из сжатого принципа и того, что ${\lim }_{y\to 0}\cos y=1$, следует
$$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}=1.$$ Положив $y=ax$ и записав $\frac{\sin (ax)}{x}=a\cdot \frac{\sin (ax)}{ax}$, получаем предел $a$.
Обобщение на комплексные $a$.
- Ряд Тейлора подходит и для комплексных параметров, так как $\sin z$ — целая функция и
$\sin z=z+O(z^3)$ при $z\to 0$ в комплексной плоскости. Для комплексного $a$ и вещественного $x\to 0$ $$\frac{\sin (ax)}{x}=a+O(x^2)\to a.$$ - Геометрический (неравностный) аргумент не применим в комплексной обстановке, поскольку он опирается на упорядоченную структуру $\mathbb{R}$. Вместо этого в комплексе используют аналитичность или оценку остатка ряда (или норму): $\sin z/z\to 1$ при $z\to 0$ в $\mathbb{C}$.
Итого: для любого вещественного или комплексного параметра $a$ (при $x\to 0$, $x\in \mathbb{R}$) выполняется $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (ax)}{x}=a$.