Кратко и по делу.
Критерии существования и единственности
- А — квадратная $n\times n$. Единственное решение тогда и только тогда, когда $A$ невырождена:
$$\det (A)\ne 0⟺\mathrm{rank}(A)=n.$$ В этом случае $X=A^{-1}B$.
- Если $\mathrm{rank}(A)=r<n$, то решение существует лишь при согласованности: столбцы $B$ должны лежать в столбцовом пространстве $A$. Тогда решений бесконечно много (параметризуются ядром $A$). Если несогласовано — решений нет.
- Для численного диагноза: разложение сингулярных значений $A=U\Sigma V^T$. Пусть ${\sigma }_{\max },{\sigma }_{\min }$ — максимальное и минимальное сингулярные значения. Если ${\sigma }_{\min }$ близко к нулю, матрица численно вырождена.
Условность и оценка погрешности
- Число обусловленности (в 2-норме):
$${\kappa }_2(A)=\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_{\min }}.$$ Примерная оценка относительной ошибки:
$$\frac{\Vert \Delta X\Vert }{\Vert X\Vert }\lesssim {\kappa }_2(A)(\frac{\Vert \Delta A\Vert }{\Vert A\Vert }+\frac{\Vert \Delta B\Vert }{\Vert B\Vert }).$$ - Остаток (residual): $R=B-A{X}_{\text{approx}}$. Малый остаток означает малую backward‑ошибку; large $\kappa$ может давать большую forward‑ошибку даже при малом остатке.
Численные методы (и рекомендации при плохо обусловленной матрице)
1. Прямые устойчивые методы
- LU с частичным пивотомингом (для общего решателя; быстро, устойчиво в большинстве случаев).
- QR‑разложение (устойчивее LU, особенно для задач с несколькими правыми частями или при желании избежать нормальных уравнений).
- Не рекомендуется решать через нормальные уравнения $A^{T}AX=A^{T}B$ без регуляризации — это квадратично увеличивает число обусловленности: $\kappa (A^{T}A)=\kappa (A{)}^2$.
2. SVD и псевдообратная
- Разложение $A=U\Sigma V^T$. МНОГО добрее при вырожденности или близкой к ней ситуации.
- Наилучшее в смысле наименьших квадратов и устойчивости: решение наименьшей нормы для несовместных/многозначных случаев
$$X=A^{+}B=V{\Sigma }^{+}{U}^{T}B,$$ где ${\Sigma }^{+}$ — псевдообратная.
- Для плохо обусловленных систем применяют усечение маленьких сингулярных значений (truncated SVD).
3. Регуляризация
- Тихоновская регуляризация (ridge) для управляния нестабильностью:
$$\hat{X}=\arg \underset{X}{\min }\Vert AX-B{\Vert }_F^2+\lambda \Vert X{\Vert }_F^2,$$ приводит к системе
$$(A^{T}A+\lambda I)X=A^{T}B.$$ Через SVD даёт фильтр по сингулярным значениям: для каждого ${\sigma }_i$ множитель ${\sigma }_i/({\sigma }_i^2+\lambda )$.
- Выбор $\lambda$: L‑кривая, кросс‑валидация, генерируемые правила (например, $\lambda$ порядка ${\sigma }_{\max }ϵ$ или подбор по остатку).
4. Итеративные методы и предусилители (для больших разреженных систем)
- Симметричные положительные: Conjugate Gradient (для SPD $A$ или $A^{T}A$ с оговорками).
- Общие: GMRES, BiCGStab. При плохой обусловленности — обязательны предусилители (preconditioners): ILU, incomplete Cholesky, многосеточные и т.п.
5. Практические корректировки и приёмы
- Масштабирование и эквилибрация строк/столбцов для уменьшения численных проблем.
- Пивотинг при LU; rank‑revealing QR (RRQR) для оценки ранга.
- Использовать повышенную точность (long double, 128‑bit или программную арифметику), если возможно.
- Для нескольких правых частей: факторизацию (LU, QR, SVD) вычислить один раз и применять ко всем столбцам $B$.
- Диагностика: смотреть ${\kappa }_2(A)$, профиль сингулярных значений; если ${\sigma }_i<\tau {\sigma }_{\max }$ (например $\tau =\text{machine\_eps}$ или более консервативно $10^{-12}$), считать их нулевыми.
Краткий практический алгоритм
- Малые/средние размеры и возможная вырожденность: вычислить SVD → либо псевдообратную, либо truncated SVD / Tikhonov.
- Большие плотные системы: LU с пивотомингом; если $\kappa$ велико — перейти на QR или SVD, или ввести регуляризацию.
- Большие разреженные: итеративные методы + хорошее предусиление; масштабирование; по возможности не решать через $A^{T}A$.
- Всегда проверяйте остаток $R=B-AX$ и условность ${\kappa }_2(A)$ для оценки надёжности решения.
Если нужно, могу предложить конкретный рабочий план (какой метод и как выбирать параметры) для вашей конкретной матрицы $A$ и правой части $B$.