Тезис: для выпуклого $n$-угольника сумма внутренних углов равна $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
1) Доказательство триангуляцией (самое наглядное).
- Из вершины полагаем все диагонали к невложенным вершинам; для выпуклого $n$-угольника получится ровно $n-2$ невзаимно пересекающихся внутри треугольников.
- Сумма углов внутри каждого треугольника равна $180^{\circ }$, значит общая сумма углов равна $(n-2)\cdot 180^{\circ }$.
2) Доказательство индукцией.
- База: для $n=3$ треугольника сумма углов равна $180^{\circ }$.
- Шаг: пусть для любого выпуклого $n$-угольника сумма углов $S_n=(n-2)\cdot 180^{\circ }$. Для выпуклого $(n+1)$-угольника проведём диагональ, отделяющую треугольник, — тогда остаётся выпуклый $n$-угольник, и
$$S_{n+1}=S_n+180^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }+180^{\circ }=(n-1)\cdot 180^{\circ }.$$ - По индукции формула верна для всех $n\ge 3$.
3) Векторный / «угол поворота» (экстерьерный углы).
- Обозначим в порядке обхода стороны полигону направленными векторами; при обходе направления сторон поворачиваются суммарно на $360^{\circ }$:
$$\sum _{k=1}^n{\text{внешний\_угол}}_k=360^{\circ }.$$ (Для выпуклого многоугольника внешние углы можно брать как смежные к внутренним, все положительны.)
- У каждого вершины внутрений + внешний = $180^{\circ }$, значит
$$\sum _{k=1}^n{\text{внутренний\_угол}}_k=n\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }.$$
Обсуждение преимуществ методов:
- Триангуляция: простой, геометрически интуитивный, конструктивный; требует выпуклости, чтобы все диагонали оставались внутри.
- Индукция: формально короткая и строгая; полезна, когда строят доказательства для обобщений или рекурсивных конструкций.
- Векторный/поворотный: компактный, использует глобальное свойство обхода (сумма поворотов $360^{\circ }$); легко обобщается на невыпуклые простые многоугольники при учёте знаков углов и даёт связь с топологией и комплексным/векторным анализом.
Вывод: все три подхода приводят к одной формуле $(n-2)\cdot 180^{\circ }$; выбор метода зависит от требуемой наглядности, строгости и уровня абстракции.