Коротко — критерии и контрпримеры.
1) Что нужно понимать под "переставить предел и сумму". Обычно рассматривают параметр $t$ (или точку $x\to x_0$) и хотят понять, когда
$$\underset{t\to t_0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\underset{t\to t_0}{\lim }{f}_n(t).$$ (Аналогично для предела последовательности точек $t_m\to t_0$.)
2) Достаточные условия (кратко и с обоснованием).
- Равномерная сходимость: если серия функций ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(t)$ сходится равномерно в некоторой окрестности $U$ точки $t_0$, и у каждого слагаемого существует предел $L_n={\lim }_{t\to t_0}{f}_n(t)$, то
$$\underset{t\to t_0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{L}_n.$$ Доказательство: равномерная сходимость даёт малость хвоста независимо от $t$, что позволяет сначала сделать сумму конечной (частичной), затем перейти к пределу по $t$ по членам, и затем повторно взять предел по номеру члена.
- Критерий Вейерштрасса (удобная практическая проверка): если найдутся числа $M_n\ge 0$ такие, что $|f_n(t)|\le M_n$ для всех $t$ в окрестности и ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n<\infty$, то серия сходится равномерно, следовательно можно переставлять предел и сумму.
- Условие "доминирования" (аналог доминированной теоремы Лебега для счётной суммы): если для всех $t$ и $n$ выполнено $|f_n(t)|\le M_n$ с $\sum M_n<\infty$, и $f_n(t)\to L_n$ при $t\to t_0$ для каждого $n$, то по теореме о доминированной сходимости для счётной суммы
$$\underset{t\to t_0}{\lim }\sum _n{f}_n(t)=\sum _n{L}_n.$$ (Это частный случай предыдущего.)
3) Замечание: равномерная сходимость — достаточное, но не необходимое условие.
4) Контрпримеры (показывают, что без дополнительных условий переставление может быть неверно).
(a) Классический пример с геометрической суммой:
$$f_n(x)=x^n,x\in [0,1).$$ Для каждого фиксированного $x\in [0,1)$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{x}^n=\frac{x}{1-x}$. Но при $x\to 1^{-}$ левая часть стремится к $+\infty$, тогда как для каждого фиксированного $n$ ${\lim }_{x\to 1^{-}}{x}^n=1$ и ${\sum }_{n=1}^{\infty }1$ расходится. Здесь нет равномерной сходимости на $[0,1)$, поэтому переставление предела не работает.
(b) Контрпример, где каждая ${\lim }_{x\to 0+}{f}_n(x)=0$, но суммарный предел не нулевой:
определим для $x\in (0,1]$ $$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}],\\ 0,& \text{иначе.}\end{array}$$ Тогда для каждого фиксированного $n$ ${\lim }_{x\to 0+}{f}_n(x)=0$, значит ${\sum }_n{\lim }_{x\to 0+}{f}_n(x)=0$. Но для любого $x\in (0,1]$ ровно одно слагаемое равно 1, следовательно ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=1$ для всех $x\in (0,1]$ и ${\lim }_{x\to 0+}{\sum }_n{f}_n(x)=1\ne 0$. Здесь опять отсутствует суммируемый доминант и равномерность.
(c) Ещё пример: $f_n(x)=n{x}^n$ на $[0,1)$. Для каждого $x\in [0,1)$ ${\sum }_{n}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$, но при $x\to 1^{-}$ эта сумма идёт в $+\infty$, тогда как ${\lim }_{x\to 1^{-}}n{x}^n=n$ и ${\sum }_{n}n$ расходится — демонстрация нарушения обмена.
5) Выводы и практические рекомендации.
- Если нужна перестановка предела и суммы при параметрической зависимости, проверьте равномерную сходимость серии в окрестности точки предела (или примените Вейерштрасса/доминирование).
- Без таких условий легко получить контрпримеры: точечная (неравномерная) сходимость допускает несогласованность предела суммы и суммы пределов (см. примеры выше).