Утверждение (признак Лейбница). Пусть $a_n>0$, $a_n$ монотонно убывает и ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$. Тогда изменяющийся знак ряд
$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ сходится.
Ключевые следствия и оценки:
- Оценка остатка. Если $S={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$, а $S_N={\sum }_{n=1}^N(-1{)}^{n-1}{a}_n$, то
$$|S-S_N|\le a_{N+1},$$ причём остаток имеет знак следующего слагаемого (т. е. $S-S_N$ и $(-1{)}^N{a}_{N+1}$ одного знака).
- Двойные монотонности частичных сумм:
$$S_{2k}\text{неубывает и}{S}_{2k+1}\text{невозрастает,}$$ и при всех $k$ $$S_{2k}\le S\le S_{2k+1}.$$
Абсолютная и условная сходимость:
- Ряд абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд положительных членов $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$. То есть абсолютная сходимость эквивалентна $\sum a_n<\infty$.
- Если $\sum a_n=\infty$, но выполнены условия Лейбница (монотонность и $a_n\to 0$), то исходный ряд сходится условно (сходится, но не абсолютно). Пример: $a_n=1/n$ даёт условно сходящуюся чередующуюся гармоническую серию.
Влияние перестановок членов:
- Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов даёт тот же предел (нечувствительность к перестановкам и группировкам).
- Если ряд лишь условно сходится, то действует теорема Римана: можно перестановкой членов получить ряд, сходящийся к любому заранее заданному числу, или разойтись в $\pm \infty$. Исключение: конечные перестановки или конечные группировки членов не меняют сумму — проблема в бесконечных перестановках.
Замечания:
- Для применения признака Лейбница достаточно, чтобы монотонность и условие $a_n\to 0$ выполнялись начиная с некоторого номера (т. е. «в конечном числе первых членов» можно не требовать).
- Существуют более общие критерии (напр., признак Дирихле), ослабляющие условия монотонности, но для классической формулировки достаточно сказанного выше.