Короткий ответ: это возможно — корень из длины любого заданного отрезка конструктивно получается циркулем и линейкой (он является квадратным корнем, а корень из заданного числа — конструктивная операция). Ниже — пару стандартных построений и краткое объяснение исключительного случая.
1) Метод средней пропорции (полукруг — теорема об антиленке).
- Пусть дан отрезок длины $L$ и задан единичный отрезок длины $1$ (из треугольной системы координат берём единичную делёнку). На прямой последовательно отложите отрезки длины $1$ и $L$, получив общий отрезок $AB$ длины $1+L$. Пусть точка $C$ разделяет $AB$ так, что $AC=1$, $CB=L$.
- Постройте полуокружность с диаметром $AB$. Через точку $C$ проведите перпендикуляр к $AB$; он пересечёт полуокружность в точке $H$.
- По теореме о высоте в прямоугольном треугольнике имеем
$$C{H}^2=AC\cdot CB=1\cdot L=L,$$ значит $CH=\sqrt{L}$. Отрезок $CH$ — искомая конструкция.
2) Метод с подобием треугольников (средняя пропорция в другой форме).
- Хотим найти $x$ такое, что $x^2=L$, т.е. $1:x=x:L$ (x — средняя пропорция между $1$ и $L$).
- Постройте луч из точки $O$ и на нём отложите отрезки $OA=1$ и далее $AB=L$ (так, чтобы $OB=1+L$). Соедините $O$ с правым концом $B$. Через точку деления $A$ проведите прямую, перпендикулярную или под удобным углом, и с помощью стандартных приёмов подобия (провести параллель так, чтобы получились подобные треугольники) постройте отрезок $x$, удовлетворяющий $1:x=x:L$. Это эквивалентно первому методу и даёт $x=\sqrt{L}$.
Замечания об исходных данных:
- В приведённых построениях требуется наличие некоторого ненулевого опорного отрезка (обычно берут единицу $1$). Если в задаче действительно задана треугольная система координат с единичным шагом — всё корректно и алгоритмы работают.
- Если же единственный дан для построения только отрезок длины $L$ и нет никакой другой масштабирующей длины, то абсолютное значение $\sqrt{L}$ не имеет смысла без выбора единицы длины: геометрические построения зависят от начальных данных, и все получаемые длины выражаются через данные (в поле, получаемом из исходных дли́n операциями сложения, вычитания, умножения, деления и выделения квадратных корней). Формально из одного числа $L$ можно построить $\sqrt{L}$ как элемент расширения $\mathbb{Q}(L)$ через взятие корня, но для явного чертежа обычно нужен дополнительный эталон (единица).