Задача (в стандартной форме): максимизировать произведение $P=x_1{x}_2\cdots x_n$ при фиксированной сумме ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=S$. Предполагаем $x_i>0$ (иначе логарифм и AM–GM требуют оговорок).
Решение и сравнение методов.
1) Метод Лагранжа (наиболее формальный)
- Берём логарифм: $\ln P={\sum }_{i=1}^n\ln x_i$. Максимизация $P$ эквивалентна максимизации $\sum \ln x_i$ при $\sum x_i=S$.
- Лагранжиан: $\mathcal{L}={\sum }_{i=1}^n\ln x_i-\lambda ({\sum }_{i=1}^n{x}_i-S)$.
- Условия стационарности: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}=\frac{1}{x_i}-\lambda =0\Rightarrow x_i=\frac{1}{\lambda }$ для всех $i$.
- Значит $x_1=\cdots =x_n=\frac{S}{n}$. Максимум: $P_{\max }=(\frac{S}{n}{)}^n$.
- Достаточность: $\sum \ln x_i$ — вогнутая функция, поэтому стационарная точка на допустимом множестве даёт глобальный максимум; границы ($x_i\to 0$) дают $P\to 0$, хуже.
2) Метод неявных производных (исключение переменной)
- Исключаем $x_n=S-{\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i$. Рассматриваем $f(x_1,\dots ,x_{n-1})={\sum }_{i=1}^{n-1}\ln x_i+\ln (S-{\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i)$.
- Ставим частные производные в ноль:
$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{1}{x_i}-\frac{1}{S-{\sum }_{j=1}^{n-1}{x}_j}=0$.
- Отсюда все $x_i$ равны между собой и равны $S/n$. Результат тот же: $P_{\max }=(S/n{)}^n$.
- Комментарий: этот метод эквивалентен Лагранжу для одного линейного ограничения, иногда проще технически.
3) Метод неравенства AM–GM (наиболее простой и элементарный)
- AM–GM: $\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\ge (x_1\cdots x_n{)}^{1/n}$.
- Подставляя сумму $S$: $\frac{S}{n}\ge (P{)}^{1/n}\Rightarrow P\le (\frac{S}{n}{)}^n$.
- Равенство достигается при $x_1=\cdots =x_n=S/n$. Получаем тот же максимум.
- Преимущество: прямой, не требует дифференцирования; даёт глобальный результат сразу. Ограничение: применим при $x_i\ge 0$ и когда цель имеет мультипликативную структуру.
Короткое сравнение методов
- Лагранж: системный, универсальный для дифференцируемых целей и нескольких ограничений; требует проверки сущности стационарной точки (но в нашем случае вогнутость решает).
- Исключение переменной/неявные производные: проще при одном ограничении, даёт те же уравнения; по сути частный случай Лагранжа.
- AM–GM: наиболее короткий и интуитивный для этой задачи; даёт явную глобальную оценку и условие равенства без анализа границ и вторых производных; но применим лишь для неотрицательных переменных и специальной формы задачи.
Замечание по условиям: если допускаются отрицательные $x_i$, поведение продукта и оптимум меняются (может не существовать конечного максимума), поэтому обычно ставят $x_i\ge 0$ или $x_i>0$.