Точная формулировка:
- Необходимая часть: Если ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, то член последовательности стремится к нулю: $a_n\to 0$ при $n\to \infty$.
- Эквивалентная (контрапозиция): Если $a_n\nrightarrow 0$, то ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ расходится.
- Достаточность: Утверждение «если $a_n\to 0$, то ряд сходится» неверно (условие необходимое, но не достаточное).
Доказательство необходимой части (коротко):
Пусть $s_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ — частичные суммы и $s_n\to S$. Тогда
$$a_n=s_n-s_{n-1}\to S-S=0,$$ следовательно при расхождении предела $a_n$ ряд не может сходиться (контрапозиция).
Иллюстрирующие примеры:
1) Предел не равен нулю (очевидная дивергенция): $a_n=1$. Тогда $a_n\nrightarrow 0$ и ${\sum }_{n=1}^{\infty }1$ расходится (частичные суммы растут без ограничения).
2) Предел не существует или не равен нулю (дивергентная осцилляция): $a_n=(-1{)}^n$. Здесь $a_n\nrightarrow 0$, частичные суммы не имеют предела, ряд расходится.
3) Предел равен нулю, но ряд расходится (контрпример недостаточности): гармонический ряд $a_n=1/n$. Имеем $1/n\to 0$, но
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty ,$$ что видно по группировке: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots \ge 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8})+\cdots \ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots$.
4) Предел нулю и ряд может сходиться (для полноты): ряд Лейбница ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$ сходится (условно), хотя $1/n\to 0$.
Итого: правильная формулировка — «$a_n\nrightarrow 0$ влечёт расходимость ряда». Условие $a_n\to 0$ необходимо для сходимости, но не достаточно.