Условия применимости (классическая формулировка). Пусть $F:{\mathbb{R}}^{n+m}\to {\mathbb{R}}^m$ — $C^1$-функция в окрестности точки $(x_0,y_0)$, причём
$$F(x_0,y_0)=0$$ и матрица частных производных по компонентам «$y$» (якобиан)
$$D_{y}F(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$$ обратима (т.е. $\det D_{y}F(x_0,y_0)\ne 0$). Тогда существуют окрестности $U\ni x_0$, $V\ni y_0$ и единственная $C^1$-функция $f:U\to V$ такая, что для всех $x\in U$ $$F(x,f(x))=0.$$ Кроме того
$$Df(x_0)=-(D_{y}F(x_0,y_0){)}^{-1}{D}_{x}F(x_0,y_0).$$ В случае одной уравнения в двух переменных ($m=1$) условие сводится к $\partial F/\partial y(x_0,y_0)\ne 0$.
Краткое пояснение необходимости условия. Обратимость $D_{y}F$ гарантирует, что уровень $F=0$ в окрестности точки — гладкое многообразие размерности $n$, и проекция этого многообразия на координаты $x$ является локальным диффеоморфизмом, т.е. задаёт единственную (и гладкую) функцию $y=f(x)$. Если $\det D_{y}F=0$, проекция может не быть инъективной или не давать графика функции (вертикальные касательные, самопересечения, узлы, кромки и т.п.).
Пример, где локальное представление $y=f(x)$ невозможно. Рассмотрим
$$F(x,y)=y^2-x$$ в точке $(0,0)$. Здесь ∂F/∂y(0,0)=2y∣(0,0)=0\partial F/\partial y(0,0)=2y\big|_{(0,0)}=0∂F/∂y(0,0)=2y (0,0) =0, поэтому условие теоремы не выполнено. Уравнение даёт кривую $y^2=x$. Для малых положительных $x$ существуют два решения $y=\pm \sqrt{x}$, для малых отрицательных $x$ решений нет. Следовательно не существует открытого интервала $U\ni 0$ и единственной функции $f:U\to \mathbb{R}$, такой что $F(x,f(x))\equiv 0$ в $U$: либо для некоторых $x\in U$ нет решения, либо для некоторых — два разных $y$. Поэтому локальное представление $y=f(x)$ в окрестности $(0,0)$ невозможно.
Замечание: условие $\det D_{y}F\ne 0$ — достаточное (и даёт регулярность решения). Оно не всегда необходимо: например $F(x,y)=y^3-x$ при $(0,0)$ имеет $\partial F/\partial y=0$, но уравнение даёт единственную непрерывную функцию $y=x^{1/3}$ (не $C^1$ в 0).