Уравнение и характерный разбор
Уравнение: $ϵy^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=0,0<ϵ\ll 1$.
Характеристическое уравнение: $ϵr^2+r+1=0$. Корни
$$r=\frac{-1\pm \sqrt{1-4ϵ}}{2ϵ}.$$ При $ϵ\to 0$ имеем асимптотически
$$r_1\sim -1+O(ϵ),r_2\sim -\frac{1}{ϵ}+1+O(ϵ),$$ т.е. общее решение комбинация $e^{-x}$ (медленно меняющаяся) и $e^{-x/ϵ}$-члена (быстро затухающая на масштабе $O(ϵ)$).
Регулярная теория возмущений
Подставляем разложение в степени $ϵ$: $y=y_0+ϵy_1+\dots$. При ${ϵ}^0$ получаем редуцированное уравнение первого порядка
$$y_0^{\prime }+y_0=0\Rightarrow y_0=C{e}^{-x}.$$ Регулярный подход даёт только медленную компоненту $e^{-x}$. Он годится, если задача задаётся, например, как начальная задача в точке $x=0$ и задано значение $y(0)$: тогда постоянная $C$ определяется и решение не требует внутренних слоёв. Но регулярная теория не в состоянии получить быстро меняющийся член $e^{-x/ϵ}$, поэтому она ломается, когда требуется учесть пограничное условие, несовместное с $y_0$.
Сингулярная (matched asymptotics) теория и слой пограничного типа
Поскольку при $ϵ\to 0$ порядок уравнения падает (высший производный умножен на малый множитель), задача сингулярно возмущена и может требовать пограничного слоя. Рассмотрим отрезок $[0,1]$ с граничными условиями $y(0)=\alpha ,y(1)=\beta$. Внешний (outer) разложение даёт
$$y_{\text{out}}(x)=C{e}^{-x}.$$ Чтобы удовлетворить условию в правой границе, выбираем $C=\beta e^1$, так что $y_{\text{out}}(1)=\beta$. Обычно тогда $y_{\text{out}}(0)=\beta e^1\ne \alpha$ и требуется пограничный слой у левой границы $x=0$.
Внутреннее (inner) разложение: вводим растянутую переменную $X=x/ϵ$. Тогда на ведущем порядке получаем
$$Y_{XX}+Y_X=0,$$ общий вид решения
$$Y(X)=A+B{e}^{-X}.$$ Условие совпадения с внешним решением при $X\to \infty$ даёт $A=y_{\text{out}}(0)=\beta e^1$. Налагая $Y(0)=\alpha$ получаем $B=\alpha -\beta e^1$. Возвращаясь в исходную переменную, слой имеет ширину $O(ϵ)$ и вклад вида $(\alpha -\beta e^1)e^{-x/ϵ}$.
Композиционное (составное) приближение на ведущем порядке:
$$y_{\text{comp}}(x)=\beta e^{1-x}+(\alpha -\beta e^1)e^{-x/ϵ}.$$ Это согласуется с точным решением (линейной комбинацией двух экспонент) и показывает явную роль слоя.
Когда требуется слой:
- Если задача задаётся на интервале с граничными условиями на обоих концах (BVP), то регулярное решение первого порядка может удовлетворять максимум одному граничному условию; второе обычно требует слоя.
- Положение слоя определяется знаком коэффициента при $y^{\prime }$ (напр., здесь коэффициент $+1>0$ — слой у левого конца $x=0$); в общем для $ϵy^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+\dots$ слой располагается на том конце, откуда «входят характеристики», т.е. где решение быстро затухает внутрь (если $a>0$ — слой у левого конца, если $a<0$ — у правого).
- Для начальной задачи (IVP) с заданным $y(0)$ и/или $y^{\prime }(0)$ слой может не требоваться: регулярная разложение часто достаточно.
Краткое резюме
- Уравнение сингулярно возмущено: общее решение содержит медленную компоненту $e^{-x}$ и быстрый слой $e^{-x/ϵ}$.
- Регулярная теория даёт только медленную часть и годится, когда граничные/начальные условия совместимы с редуцированным (первого порядка) уравнением.
- Сингулярная (matched asymptotics) теория вводит внутреннюю переменную $X=x/ϵ$, строит слой толщиной $O(ϵ)$ и составное приближение; слой требуется при BVP, если внешнее решение не может удовлетворить все граничные условия.