Кратко укажу типичную логическую неточность и приведу корректное доказательство.
Ошибка. Вошибочных доказательствах иногда на этапе индукции неправильно используют индуктивное предположение: берут утверждение для $n$ и затем приписывают его уже к $n+1$ (то есть по сути предполагают то, что нужно доказать). Пример неверного шага (круговое рассуждение):
$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\text{(подставлено без вывода, как будто из гипотезы)}$$ Это нельзя делать: индуктивное предположение даёт формулу только для фиксированного $n$, а не сразу для $n+1$.
Корректное доказательство по математической индукции.
База ( $n=1$ ): ${\sum }_{k=1}^{1}k=1$ и правая часть $\frac{1\cdot 2}{2}=1$. База верна.
Индуктивный шаг. Предположим, для некоторого фиксированного $n\ge 1$ верно
$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$ Требуется доказать формулу для $n+1$. Тогда
$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1).$$ По индуктивному предположению подставляем первую сумму:
$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$ Таким образом, из истинности для $n$ следует истинность для $n+1$.
Заключение. Так как база выполнена и индуктивный шаг доказан корректно, по принципу математической индукции для всех натуральных $n$ имеет место
$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$