Кратко: самые рискованные места — пропуск проверки области определения и неявное введение отрицательных выражений при возведении в квадрат, из‑за чего появляются посторонние корни. Набор правил и пример безопасного решения.
1) Область определения:
$\sqrt{x+3}$ и $\sqrt{2x-1}$ определены при
$$x+3\ge 0,2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}.$$
2) Опасность при изоляции и возведении в квадрат:
если изолировать, например,
$$\sqrt{x+3}=5-\sqrt{2x-1},$$ то перед квадрированием нужно требование правой части неотрицательно: $5-\sqrt{2x-1}\ge 0$, что даёт дополнительное ограничение
$$\sqrt{2x-1}\le 5\Rightarrow 2x-1\le 25\Rightarrow x\le 13.$$ Если не учесть это, при последующих квадрированиях может появиться корень, нарушающий эту неравенство (и исходное уравнение).
3) Типичный алгарифм и где ошибаются:
- Ошибка: квадрат обеих частей без проверки знака — приводит к посторонним решениям.
- Ошибка: арифметические опечатки при раскрытии скобок при втором возведении в квадрат.
- Ошибка: деление на выражение, которое может быть нулём, без проверки.
4) Надёжный путь (подстановка, избегает двойного возведения в квадрат):
положим $a=\sqrt{x+3},b=\sqrt{2x-1}$. Тогда
$$a+b=5,a^2=x+3,b^2=2x-1.$$ Из $b^2=2x-1\Rightarrow x=\frac{b^2+1}{2}$. Подставляем в $a^2$:
$$a^2=\frac{b^2+1}{2}+3=\frac{b^2+7}{2}.$$ Получаем систему
$$a+b=5,2a^2-b^2=7,a\ge 0,b\ge 0.$$ Подставим $a=5-b$ в второе:
$$2(5-b{)}^2-b^2=7\Rightarrow b^2-20b+43=0.$$ Решая:
$$b=10\pm \sqrt{57}.$$ Поскольку $0\le b\le 5$ (так как $a=5-b\ge 0$), остаётся
$$b=10-\sqrt{57}.$$ Тогда
$$x=\frac{b^2+1}{2}=\frac{158-20\sqrt{57}}{2}=79-10\sqrt{57}.$$
5) Проверка корня:
Всегда подставлять найденные корни в исходное уравнение и проверять область определения. В нашем случае второй корень $79+10\sqrt{57}$ возникает при квадрировании, но он нарушает $x\le 13$ (и даёт отрицательное $a=5-b$), поэтому отбрасывается. Окончательно:
$$x=79-10\sqrt{57}(\text{единственное решение}).$$
6) Резюме — как избегать ошибок:
- Сначала брать область определения.
- При изоляции корня проверять неотрицательность выражения перед квадрированием.
- Предпочитать подстановку $a=\sqrt{\cdot }$, $b=\sqrt{\cdot }$, чтобы свести задачу к системе с неотрицательными переменными.
- После каждого возведения в квадрат проверять полученные кандидаты в исходном уравнении.
- Аккуратно выполнять алгебраические преобразования и фиксировать промежуточные неравенства (они часто отсекают посторонние корни).