Ниже — несколько привычных доказательств неравенства арифметического и геометрического сред (AM–GM) для положительных чисел, короткие ключевые шаги, преимущества/недостатки и указания, где каждое даёт более глубокую информацию.
1) Элементарное (двухпеременное) + индукция
- Для $a,b>0$: $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$ даёт
$$a+b\ge 2\sqrt{ab}⟹\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$ - Для общего $n$ доказывают индукцией или группировкой (например, для $n=2^k$ пару за парой).
- Плюсы: простой, конструктивный, не требует теории.
- Минусы: тернист для взвешенных версий и для непрерывных/интегральных обобщений.
- Где полезен: базовые олимпиадные задачи, когда требуется чисто «алгебраическое» доказательство.
2) Логарифм + выпуклость/выпуклость функций (Jensen)
- Логарифм $\ln x$ — выпуклая вниз (concave). Для весов $w_i\ge 0,\sum w_i=1$:
$$\ln \left(\sum _i{w}_i{x}_i\right)\ge \sum _i{w}_i\ln x_i.$$ Экспоненцируя:
$$\sum _i{w}_i{x}_i\ge \prod _i{x}_i^{w_i}.$$ При $w_i=1/n$ получаем AM–GM:
$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\ge (\prod _{i=1}^n{x}_i{)}^{1/n}.$$ - Плюсы: естественно даёт взвешенную версию и интегральные обобщения, простой путь к строгому условию равенства.
- Минусы: требует знаний теории выпуклых функций.
- Где полезен: задачи с весами, непрерывные или функциональные обобщения, оценка интегралов.
3) Метод Лагранжа (оптимизация под ограничением)
- Максимизируем ${\prod }_{i=1}^n{x}_i$ при условии ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=S$. Берём $f=\ln \prod x_i=\sum \ln x_i$ и лагранжев множитель:
$$\frac{\partial }{\partial x_i}(\sum \ln x_i-\lambda \sum x_i)=0\Rightarrow \frac{1}{x_i}=\lambda \forall i,$$ значит все $x_i$ равны и максимум равен $(S/n{)}^n$, откуда AM–GM.
- Плюсы: даёт мотивировку из оптимизации, чётко показывает условие равенства и что при фиксированной суммы произведение достигает максимума при равных числах.
- Минусы: использует дифференцирование/анализ.
- Где полезен: задачи вида «максимизировать/минимизировать произведение/сумму при условии», вариационные задачи.
4) Через неравенство Йонга / Гёльдера / Гельдера-Хёльдера
- Young: для $p,q>1,1/p+1/q=1$ и $u,v\ge 0$ $$uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$$ Комбинируя и подбирая параметры получают взвешенную AM–GM. Хёльдер/Марцинович даёт AM–GM как частный случай.
- Плюсы: связывает AM–GM с основными неравенствами функционального анализа (Lp‑пространства).
- Минусы: требует аналитической аппаратуры.
- Где полезен: задачи, где надо сочетать нормы, интегралы, или требуется обобщение на функции.
5) Макларен / Мюрриджед, симметрические средние (более сильные утверждения)
- Маклареновы неравенства устанавливают цепочку между симметрическими средними; AM≥GM — частный случай. Мюрриджед даёт сравнения симметричных сумм при мажорировании показателей.
- Плюсы: дают более тонкую информацию о симметричных полиномах и позволяют строить сильные обобщения (например, сравнение разных порядков сред).
- Минусы: более тяжёлая теория (majorization, симметричные суммы).
- Где полезен: сложные алгебраические неравенства с симметрией, когда нужны более сильные выводы, чем просто AM–GM.
6) Алгебраическое «разложение» (вариации на тему квадратов)
- Различные алгебраические преобразования (например, для трёх и более элементов разворачивание в сумму квадратов) дают непосредственные доказательства и уточнения (вариации Чебышёва/Неравенство Коши в форме Леммы).
- Плюсы: иногда даёт явный вид разницы между AM^n и GM^n как суммы квадратов -> оценка «на сколько» неравенство строго.
- Минусы: требует хитрых алгебрических приёмов для больших $n$.
- Где полезен: когда нужно получить явную разность и построить более тонкие оценки (оценки погрешности).
Краткие рекомендации, когда что применять
- Нужна простая и понятная демонстрация (олимпиада, школьный курс) — метод двух чисел + индукция (1).
- Нужна взвешенная/интегральная версия или общий теоретический взгляд — Jensen/логарифм (2).
- Рассматривается задача оптимизации с ограничением суммы — Лагранж (3).
- Работа с нормами, интегралами, Lp—пространствами — Young/Hölder (4).
- Требуются более сильные сравнения симметричных сумм или уточнения — Maclaurin/Muirhead (5).
- Нужно явное выражение разности AM^n − GM^n или оценка «на сколько» — алгебраические разложения (6).
Каждый из этих подходов не только доказывает AM–GM, но и открывает дополнительные инструменты: компактность варианта (2) и (4) хорошо подходят для обобщений; Лагранж (3) — для задач оптимизации; Мuirhead/Maclaurin (5) — для сложных симметричных неравенств.