Коротко: обе техники дают одинаковые аналитические формулы, но отличаются устойчивостью при машинной арифметике. Ниже — практические формулы и советы по численной устойчивости.
Исходные обозначения: известны два прилежащих к углу длины $a$ и $b$ и угол между ними $\gamma$. Противоположная сторона обозначена $c$.
1) Формула косинусов (прямо)
- Третья сторона:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma ,c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }.$$ - Остальные углы (через косинус):
$$\alpha =\arccos \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\beta =\arccos \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$$
Проблемы при использовании напрямую:
- Катастрофическое вычитание, когда $a^2+b^2$ и $2ab\cos \gamma$ близки (например, $\gamma$ мало и $a\approx b$), — теряются значащие разряды в $c^2$.
- Арифметика с квадратами может переполнять при очень больших $a,b$ или терять точность при очень маленьких.
- $\arccos (x)$ нечувствителен, если $x$ близко к $\pm 1$: небольшая ошибка в $x$ даёт большую ошибку в угле.
2) Координатный метод (рекомендации для численной устойчивости)
- Разместите вершину угла $\gamma$ в начале координат, вектор вдоль оси $x$ длиной $a$: $u=(a,0)$, второй вектор длиной $b$ под углом $\gamma$: $v=(b\cos \gamma ,b\sin \gamma )$.
- Тогда
$$c=\Vert u-v\Vert =\sqrt{(a-b\cos \gamma {)}^2+(b\sin \gamma {)}^2}.$$ Для вычисления лучше использовать функцию hypot:
$$c=\mathrm{hypot}(a-b\cos \gamma ,b\sin \gamma ),$$ — hypot реализует масштабирование и уменьшает потерю точности и переполнение/зануление.
- Для углов: вычислите одновременно косинус и синус угла и примените atan2:
$$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\sin \alpha =\frac{a\sin \gamma }{c},$$ затем
$$\alpha =atan2(\sin \alpha ,\cos \alpha ).$$ Аналогично для $\beta$ (или использовав $\beta =\pi -\alpha -\gamma$). Вычисление через $atan2(\text{cross},\text{dot})$ (dot — скалярное, cross — модуль вектора произведения) даёт устойчивое значение в $(0,\pi )$.
Почему координатный/векторный подход устойчивее:
- Выражение в виде расстояния между векторами и использование hypot минимизирует эффект вычитания больших почти равных величин.
- Использование $atan2(\sin ,\cos )$ вместо $\arccos$ уменьшает чувствительность при значениях косинуса, близких к $\pm 1$.
- Можно явно контролировать масштабирование (деление на max$(a,b)$), чтобы избежать переполнения при больших длинах:
$$c=\max (a,b)\sqrt{(\frac{\min (a,b)}{\max (a,b)}{)}^2-2\frac{\min (a,b)}{\max (a,b)}\cos \gamma +1}.$$
Практические рекомендации (когда важна точность):
- Если ожидается, что $c$ может быть очень маленьким (почти вырожденный треугольник), используйте формулу через $\mathrm{hypot}$ на разности координат; не вычисляйте сначала $a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ напрямую.
- Для вычисления углов избегайте $\arccos (x)$ при $x$ близком к $\pm 1$. Лучше получить $\sin$ и $\cos$ и взять $atan2(\sin ,\cos )$.
- Всегда защищайте аргументы $\arccos$ и $\arcsin$ от небольших выходов за диапазон из-за округления: явно зафиксируйте в $[-1,1]$.
- При больших/малых масштабах данных используйте масштабирование (деление на max$(a,b)$) или арифметику с плавающей запятой повышенной точности (long double или многоточечная библиотека).
- Библиотечные функции: используйте hypot, atan2, аккуратно clamp для acos/asin.
Краткий итог:
- Аналитически формула косинусов проста, но при прямом вычислении может быть неустойчива (вычитание больших близких величин, arccos проблемы).
- Координатно/векторно с использованием $\mathrm{hypot}$ и $atan2$ обычно более устойчивы и практичны при реализации в вычислительной среде.