Коротко и по делу — методы и когда их выбирать.
Общее:
- Направление ветвей: определяется только знаком $a$: если $a>0$ — вверх (ветви вверх), если $a<0$ — вниз.
- Дискриминант и высота вершины: $D=b^2-4ac$, высота вершины $y_v=-\frac{D}{4a}$.
Если известны все коэффициенты $a,b,c$:
- Алгебраически (формула): $x_v=-\frac{b}{2a}$, $y_v=f(x_v)=a{x}_v^2+b{x}_v+c$. Практично и быстро.
- Через завершение квадрата (вершинный вид): $y=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+(c-\frac{b^2}{4a})$. Полезно, если нужен вид $a(x-h{)}^2+k$.
- Через производную (калькулятор/анализ): $y^{\prime }=2ax+b$, приравнять к нулю даёт $x_v=-\frac{b}{2a}$.
Если известны корни $(x_1,x_2)$ (алгебраически или геометрически):
- Ось симметрии / середина корней: $x_v=\frac{x_1+x_2}{2}$.
- Связь с $c$ и $a$: $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$, при известном $c$ и одном корне можно найти $a$ или второй корень.
Если известны только некоторые коэффициенты — какие выводы доступны:
- Знаем $a$ (без $b,c$) — можно только направление ветвей.
- Знаем $a$ и $b$ (без $c$) — можно найти $x_v=-\frac{b}{2a}$, но $y_v$ остаётся неизвестным (зависит от $c$): $y_v=c-\frac{b^2}{4a}$.
- Знаем $b$ и $c$ (без $a$) — нельзя найти $x_v$ (зависит от $a$), можно лишь вычислить дискриминант как функция от $a$.
- Знаем один корень и $a$ — второй корень через $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$; затем середина корней даёт вершину.
Геометрические/практические приёмы:
- Если есть график или набор точек: аппроксимация/интерполяция (решение СЛАУ для $a,b,c$) или найти ось симметрии как геометрическое местоположение середины симметричных точек.
- Если известны фокус и директриса — классическое построение вершины как середины между фокусом и проекцией на директрису.
- Если известны два симметричных по оси пункта на параболе — их середина по абсциссе даёт $x_v$.
Рекомендация по выбору метода (оптимальность):
- Все коэффициенты известны: напрямую формула или завершение квадрата.
- Имеются корни: использовать середину корней.
- Имеется набор точек/экспериментальные данные: решать СЛАУ на $a,b,c$ (или МНК при шуме).
- Есть доступ к производной/анализу: использовать $y^{\prime }=0$ (удобно в символьных/численных системах).
- Только геометрическая информация (фокус/директриса, симметричные точки): геометрические построения.
Кратко: формула $x_v=-\frac{b}{2a}$ и завершение квадрата — универсальны; выбор конкретного способа зависит от того, какие данные доступны (коэффициенты, корни, точки, геометрические элементы).