Кратко — несколько стандартных подходов и разбор возражений.
1) Алгебраический приём
Пусть $x=0.\overline{9}$. Тогда $10x=9.\overline{9}$. Вычитая, получаем $9x=9$, значит $x=1$. Поэтому $0.\overline{9}=1$.
2) Как предел последовательности конечных приближений
Пусть $s_n$ — десятичная дробь с $n$ девятками: $s_n=0.\underset{n}{99\dots 9}$. Тогда
$$s_n=1-10^{-n}.$$ Поэтому ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n={\lim }_{n\to \infty }(1-10^{-n})=1$. Иными словами $0.\overline{9}$ как предел частичных сумм равен 1.
3) Ряд (геометрическая прогрессия)
Запись $0.\overline{9}$ равна ряду
$$\sum _{k=1}^{\infty }9\cdot 10^{-k}=9\sum _{k=1}^{\infty }(10^{-1}{)}^k=9\cdot \frac{10^{-1}}{1-10^{-1}}=1.$$
4) Доказательство через неравенства / эпсилон-аргумент
Для любого $n$ имеем $1-s_n=10^{-n}>0$. Но для всякого $\epsilon >0$ можно выбрать $N$ так, что $10^{-N}<\epsilon$. Тогда для всех $n\ge N$ выполняется $|1-s_n|<\epsilon$, следовательно $\lim s_n=1$. То есть разность $1-0.\overline{9}$ равна 0.
Возможные возражения и ответы
- «Бесконечный процесс не завершён, поэтому число не может быть равно 1.»
Путаница между процессом построения и пределом: предел последовательности — это конкретное число, к которому последовательность стремится. Для последовательности $s_n$ предел равен 1, значит значение бесконечной десятичной записи — 1.
- «У бесконечной десятичной записи нет последней цифры; как можно сравнивать с 1?»
Отсутствие "последней цифры" не мешает определению числа как предела частичных сумм. Дробь определяется всей последовательностью её приближений, а не последним символом.
- «Разные десятичные записи должны соответствовать разным числам.»
Это неверно: в десятичной системе некоторые числа имеют две записи: одна заканчивается бесконечными нулями, другая — бесконечными девятками. Например, $1.000\dots$ и $0.999\dots$ — одна и та же точка на числовой прямой. Это свойство системы счисления, а не противоречие.
- «Может существовать положительная разность $1-0.\overline{9}$, просто очень маленькая.»
Если бы разность $d=1-0.\overline{9}$ была положительной, то существовало бы минимальное положительное число в виде $10^{-n}$ меньше $d$ — но для любого $n$ имеем $0<d\le 10^{-n}$, что невозможно для фиксированного положительного $d$. Формально: $d\le 10^{-n}$ для всех $n$ влечёт $d\le 0$, значит $d=0$.
Дополнительное замечание (структурно): равенство опирается на аксиомы и свойства действительных чисел (пределы, сумма геометрических рядов, полнота действительных чисел). В рамках этих аксиом $0.\overline{9}=1$ — строгое математическое утверждение.