Критерий: многочлен $f(n)=n^3+2n^2-n+6$ делится на $3$ тогда и только тогда, когда $n$ делится на $3$, т.е. $f(n)\equiv 0(\mathrm{mod}3)⟺n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$.
Обоснование (кратко): так как $6\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, имеем
$$f(n)\equiv n^3+2n^2-n(\mathrm{mod}3).$$ Проверим три класса вычетов по модулю $3$:
$$\begin{array}{rl}& \text{если}n\equiv 0(\mathrm{mod}3),f(n)\equiv 0;\\ & \text{если}n\equiv 1(\mathrm{mod}3),f(n)\equiv 1+2-1\equiv 2\not\equiv 0;\\ & \text{если}n\equiv 2(\mathrm{mod}3),f(n)\equiv 8+8-2\equiv 2\not\equiv 0.\end{array}$$ Отсюда единственная возможность делимости на $3$ — $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$.
Альтернативные способы проверки для больших $n$:
- Вычислить остаток $n\mathrm{mod}3$. Для десятичных представлений это эквивалентно сумме цифр: $n\equiv$ (сумма цифр $n$) $(\mathrm{mod}3)$. Если сумма цифр делится на $3$, то и $f(n)$ делится на $3$.
- Применить быстрое вычисление остатка: при потоковом вводе больших чисел поддерживать текущий остаток по модулю $3$ (итеративно: новый остаток = $(10\cdot \text{старый}+\text{новая цифра})\mathrm{mod}3$).
- Для аналитических выражений $n$ использовать вычисления по модулю $3$ (свести задачу к одному из трёх вычетов $0,1,2$).
- Программно: проверить условие $n\%3==0$ в любом языке с большими целыми числами.