Кратко: оба метода дают одну и ту же формальную упрощённую запись, но различаются по применимости и по тому, какие дополнительные условия на переменные нужно отслеживать.
Основное тождество (разложение на множители):
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ откуда при $a\ne b$ $$\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b.$$ Это тождество как многочлен (или как формальное выражение в коммутативном кольце) верно всегда, но деление одним выражением на другое как функция допускается только при $a-b\ne 0$. При $a=b$ исходное выражение даёт неопределённость $\frac{0}{0}$; предел при $a\to b$ равен $2a$.
Когда предпочтительнее разложение на множители:
- Когда видна стандартная формула (как здесь): быстрая и простая отмена множителя, одновременно явно показывает условие снятия (что нужно $a-b\ne 0$).
- При работе с символьными выражениями или когда нужно увидеть возможную устранимую особенность (removable singularity) — разложение показывает, что значение при $a=b$ можно задать как предел $2a$, если требуется «удалить» разрыв.
- В теоретических рассуждениях в коммутативных кольцах (включая многочлены) факторизация даёт чистое тождество.
Когда предпочтительнее деление многочленов:
- Когда факторизация неочевидна или многчлены более сложные; алгоритмическое деление (или Ньютон/Евклид) даёт частное и остаток и пригодно для автоматизации.
- Если делят по конкретной переменной (например, $a(x),b(x)$ — многочлены от $x$), деление даёт степень и остаток; полезно, когда $a-b$ может быть не делителем.
- Когда нужно знать остаток (деление показывает, делится ли целиком).
Особые случаи и предостережения:
- Если $a$ и $b$ — выражения в другом переменном (например, многочлены $a(x),b(x)$), правило остаётся: как тождество $(a(x){)}^2-(b(x){)}^2=(a(x)-b(x))(a(x)+b(x))$, но деление возможно только если $a(x)-b(x)$ не тождественно ноль и не делит с остатком. Если $a(x)-b(x)\equiv 0$, то и числитель тождественно ноль — надо брать НОД/делить с учётом кратности.
- В неккоммутативных структурах (матрицы, кольца с нулевыми делителями) факторизация $(a-b)(a+b)$ может не равняться $a^2-b^2$ из‑за порядка умножения или нельзя сокращать множитель (нет правила сокращения на нулевой делитель). Нужно проверять коммутативность и отсутствие нулевых делителей.
- Для численных подстановок: если подставляем $a=b$, выражение неопределено; можно использовать предел или лопочение: значение «после сокращения» дает значение почти везде, но не в точке $a=b$, если не продефинировано дополнительно.
Рекомендация:
- Для этого конкретного выражения предпочтительна факторизация (разложение на множители): просто, ясно и показывает условие $a\ne b$. Деление применяют, когда факторизации нет под рукой или выражения сложнее, либо нужна информация об остатке.