Рассмотрим рекурренту
$$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2},a_1>0,$$ и положим $r=\sqrt{2}$.
1) Фиксированная точка и положительность.
Фиксированная точка $L$ удовлетворяет
$$L=\frac{L+\frac{2}{L}}{2}⟹L^2=2⟹L=r(\text{так как}{a}_1>0).$$ При любом $a_n>0$ видно, что $a_{n+1}>0$ (сумма положительных слагаемых), следовательно все члены положительны.
2) Доказательство монотонности и ограниченности.
Вычислим разность
$$a_{n+1}-a_n=\frac{2-a_n^2}{2a_n}.$$ Отсюда:
- если $a_n>r$, то $a_{n+1}-a_n<0$ (последовательность убывает) и при этом $a_{n+1}>r$ (потому что $r$ — единственная положительная фикс. точка), значит она ограничена снизу $r$;
- если $0<a_n<r$, то $a_{n+1}-a_n>0$ (последовательность возрастает) и при этом $a_{n+1}<r$, значит она ограничена сверху $r$;
- если $a_n=r$, то все последующие равны $r$.
Следовательно для любого $a_1>0$ последовательность либо монотонно убывает и ограничена снизу, либо монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому по теореме о монотонной ограниченной последовательности она сходится. Предел $L$ удовлетворяет уравнению фиксированной точки, отсюда $L=r$.
3) Альтернативный метод (через преобразование Бернулли — квадратичность ошибки).
Положим
$${\epsilon }_n=\frac{a_n-r}{a_n+r}.$$ Прямая проверка даёт тождество
$${\epsilon }_{n+1}={\epsilon }_n^2.$$ (Действительно, подставляя $r^2=2$ и упрощая, получается указанное соотношение.) Отсюда $|{\epsilon }_n|=|{\epsilon }_1{|}^{2^{n-1}}\to 0$, следовательно $a_n\to r$. Этот метод не только доказывает сходимость, но и показывает квадратичную (очень быструю) сходимость и даёт явный контроль над ошибкой.
4) Сравнение методов.
- Метод монотонности + ограниченности прост и не требует явных преобразований; даёт лишь факт сходимости и предел.
- Метод с преобразованием ${\epsilon }_n$ (иногда называют «Бернуллиевским» или просто аналитическим преобразованием) сильнее: он даёт точную рекурсию для относительной ошибки, доказывает быстродействие (квадратичная сходимость) и позволяет оценивать скорость сходимости.
Итого: для любого $a_1>0$ последовательность сходится к $\sqrt{2}$. Первый метод проще, второй — информативнее по скорости сходимости.