Коротко: две многочлена $f(x),g(x)$ имеют общий корень в $\mathbb{C}$ тогда и только тогда, когда их результатант равен нулю (эквивалентно — их многч. имеют ненулевой общий НОД положительной степени). Для практики при степенях $\le 3$ доступны несколько удобных методов; выбор зависит от того, нужны ли точные символьные доказательства или численные проверки и от вида коэффициентов.
1) Результант (символический критерий)
- Определение: если $\mathrm{deg}f=m,\mathrm{deg}g=n$, то $\mathrm{Res}(f,g)=\det (S(f,g))$, где $S(f,g)$ — матрица Сильвестра размера $(m+n)\times (m+n)$. Условие общего корня в $\mathbb{C}$: $\mathrm{Res}(f,g)=0$.
- Достоинства: точный алгебраический критерий; удобен для формальных доказательств и при рациональных/целых коэффициентах.
- Ограничения: при символическом вычислении может быть «раздувание» коэффициентов; при плавающей арифметике детерминант может быть плохо обусловлен.
2) Алгоритм Евклида (НОД многочленов)
- Выполняют последовательное деление: $\mathrm{rem}(f,g),\mathrm{rem}(g,\mathrm{rem}(f,g)),\dots$ пока остаток не ноль. НОД ненулевой степени $\iff$ есть общий ненулевой корень.
- Для степеней $\le 3$ это очень эффективно (несколько делений). Для точных коэффициентов (целые/рациональные) — предпочтительно.
- Для численных коэффициентов используют субрезультантный PRS или нормализацию, чтобы избежать нестабильности.
3) Факторизация / явное решение
- Для малых степеней удобно: решить один многочлен явно (квадратная формула, формула Кардано для кубика) и подставить корни в другой: если хотя бы один корень удовлетворяет — общий корень найден.
- Также можно факторизовать оба многочлена над $\mathbb{R}$ (линейные + неприводимые квадраты) и сравнить общие множители.
- Достоинства: ясный результат и возможность узнать реальный/комплексный характер корня; для $\mathrm{deg}\le 2$ — максимально просто.
- Ограничения: формулы для кубика громоздки; подстановка может быть чувствительна к погрешностям при численных корнях.
4) Численные методы (практически полезно)
- Найти корни каждого многочлена численно (например, собственные значения матрицы компаньона) и сравнить с порогом: если существует пара корней с $|x_i-y_j|<\epsilon$, то «практически» общий корень.
- Или проверить близость Сильвестра к вырожденности через SVD: маленькое наименьшее сингулярное значение ${\sigma }_{\min }(S)$ указывает на близкую общность корня.
- Подходит при плавающих коэффициентах; требуется аккуратный выбор порога $\epsilon$.
5) Дополнительные замечания
- Если коэффициенты вещественные, то нетривиальный общий комплексный корень появляется парами сопряжённых; значит, если найден невидимый комплексный общий корень, его сопряжённый тоже общий.
- Для кратных общих корней результатант тоже равен нулю; чтобы выяснить кратность, исследуют НОД или производные.
- Практическое правило выбора:
- Коэффициенты целые/рациональные и нужен доказательный результат: вычислить НОД (Евклид) или результатант символически.
- Степень маленькая ($\le 2$) или удобно решать один многочлен: найти корни явно и подставить.
- Коэффициенты с плавающей арифметикой: численное нахождение корней (компаньон/QR) + сравнение или SVD субматрицы Сильвестра/Subresultant PRS для устойчивости.
Резюме: результатант — универсальный точный критерий ($\mathrm{Res}(f,g)=0$ ⇔ общий корень в $\mathbb{C}$), но для степеней $\le 3$ чаще проще и эффективнее либо вычислить НОД через алгоритм Евклида (символьное точно), либо найти корни одного многочлена и подставить (когда допустима численная оценка).