Кратко — способы и объяснение.
1) Удобная аналитическая сумма (лучший способ). Пишем $x^x=e^{x\ln x}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(x\ln x{)}^n}{n!}$ (ряд экспоненты, сходится при $x\in (0,1]$). Интегрируя почленно,
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{\int }_0^1{x}^n(\ln x{)}^{n}dx.$$ Из формулы ${\int }_0^1{x}^a(\ln x{)}^{n}dx=(-1{)}^n\frac{n!}{(a+1{)}^{n+1}}$ при $a>-1$ получаем
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}.$$ Ряд очень быстро убывает, поэтому суммирование первых нескольких членов даёт высокую точность. Численно
$${\int }_0^1{x}^{x}dx\approx 0.7834308767(\text{около}8\cdot 10^{-1}).$$
2) Численные методы. Если предпочитаете численные интеграторы:
- Адаптивный Симпсон / Romberg — быстро работают, но нужно учитывать неограниченную производную в нуле (см. ниже).
- Квадратуры Гаусса (Gauss–Legendre) на разбиении отрезка тоже эффективны.
- Замена $x=e^{-t}$ даёт интеграл на полупрямой:
$${\int }_0^1{x}^{x}dx={\int }_0^{\infty }{e}^{-t{e}^{-t}}{e}^{-t}dt,$$ что удобно для численной интеграции на $[0,\infty )$ (использовать преобразования/усекающие веса).
- Монте‑Карло применим при малом требовании к точности, но медленнее для высокой точности.
3) Почему подстановка и интегрирование по частям не дают элементарной первообразной. Основные причины:
- $x^x=e^{x\ln x}$ содержит композицию экспоненты и логарифма: аргумент экспоненты $x\ln x$ не является многочленом/рациональной функцией по простой переменной, поэтому стандартные подстановки $t=\ln x$ или $t=x\ln x$ приводят к функциям вида $e^{t{e}^t}$ или к рекурсивным интегралам той же сложности, а не к элементарным выражениям.
- Применение интегрирования по частям порождает интегралы вида $\int x^{x+k}(\ln x+1)dx$ — рекурсия не закрывается и не выражается конечной комбинацией элементарных функций.
- Формально вопрос о существовании элементарной первообразной разрешается в рамках алгоритма Риша (дифференциальная алгебра): для подобных композиций экспоненты и логарифма в общем случае элементарной первообразной не существует. Для $x^x$ не найдено и не ожидается выражение через конечный набор элементарных функций (вместо этого получаем ряды или специальные функции).
Вывод: эффективнее всего использовать аналитический ряд
$${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^{n+1}}$$ для точного/быстрого вычисления, либо надёжные численные квадратуры с учётом особенности в нуле.