Да — $I_n={\int }_0^1{x}^{n}dx\to 0$. Кратко три разных подхода и какие свойства используются.
1) Прямое вычисление (элементарно, Riemann):
In=∫01xn dx=x n+1n+1∣01=1n+1 \displaystyle I_n=\int_0^1 x^n\,dx=\left.\frac{x^{\,n+1}}{n+1}\right|_0^1=\frac{1}{n+1}In =∫01 xndx=n+1xn+1 01 =n+11 .
Следовательно $I_n\to 0$ при $n\to \infty$.
Используем: непрерывность $x\mapsto x^n$ на $[0,1]$ (Riemann-интегрируемая), обычная формула первообразной.
2) Теорема о доминированной сходимости (Lebesgue):
Для каждого $x\in [0,1)$ имеем $x^n\to 0$, при $x=1$ предел $=1$, поэтому точечный предел почти везде (a.e.) равен $0$ (так как мера точки $\{1\}$ равна $0$). Функции $x^n$ измеримы и выполняется $0\le x^n\le 1$ для всех $n$ и $x$. Поскольку функция $1$ интегрируема на $[0,1]$, по теореме Доминированной сходимости
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n}dx={\int }_0^{1}0dx=0.$ Используем: измеримость функций, конечная мера отрезка $[0,1]$, наличие интегрирующего доминатора $1$, и то что изменение на множестве меры ноль не влияет на интеграл.
3) Оценка и разбиение (элементарный анализ):
Для любого $\epsilon \in (0,1)$ ${\int }_0^1{x}^{n}dx={\int }_0^{1-\epsilon }{x}^{n}dx+{\int }_{1-\epsilon }^1{x}^{n}dx\le (1-\epsilon {)}^n+\epsilon .$ При $n\to \infty$ первый член $\to 0$, остаётся $\le \epsilon$. Так как $\epsilon$ произвольно, предел равен $0$.
Используем: монотонность $x^n$ по $x$ на $[0,1]$, длина отрезка как мера, базовые оценки интеграла.
Замечание: монотонная теорема о сходимости (Monotone Convergence) прямо не применяется, потому что $x^n$ убывают по $n$; вместо неё используется доминированная теорема или прямой расчёт.