Задача. Пусть две монеты бросаются по очереди; для монеты $i$ получено $n_i$ бросков и $k_i$ орлов ($i=1,2$). Одна из монет честная ($p=1/2$), другая имеет неизвестную вероятность орла $p\ne 1/2$. Нужно определить, какая честная, при малом числе бросков.
Ключевые замечания и достаточная статистика
- Достаточная статистика: пары счётов $(k_1,n_1)$ и $(k_2,n_2)$.
- MLE для каждой монеты: ${\hat{p}}_i=k_i/n_i$.
Методы и формулы (кратко)
1) Логарифмическое отношение правдоподобия (LRT) между двумя моделями
- Модель $A$: монета 1 честная ($p_1=1/2$), монета 2 с неизвестным $p_2$.
- Модель $B$: монета 2 честная ($p_2=1/2$), монета 1 с неизвестным $p_1$.
- Максимальное правдоподобие при свободном параметре даёт ${\hat{p}}_i$.
- Отношение правдоподобия (выбирать модель с большей правдоподобностью):
$$\Lambda =\frac{L(A)}{L(B)}=2^{n_2-n_1}\frac{{\hat{p}}_2^{k_2}(1-{\hat{p}}_2{)}^{n_2-k_2}}{{\hat{p}}_1^{k_1}(1-{\hat{p}}_1{)}^{n_1-k_1}}.$$ Если $\Lambda >1$, поддерживается "монета 1 честная"; иначе — монета 2.
2) Байесовский подход (рекомендуется при малых n)
- Ввести априор для неизвестного смещения, напр. $\mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$ (униформная $\alpha =\beta =1$ или Джеффрея $\alpha =\beta =1/2$).
- Маргинальная вероятность при модели $A$ (монета1 честна):
$$m_A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_1}{k_1}\right)(\frac{1}{2}{)}^{n_1}\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_2}{k_2}\right)B(k_2+\alpha ,n_2-k_2+\beta )}{B(\alpha ,\beta )}.$$ Аналогично для $m_B$. Байес-фактор $BF=m_A/m_B$; затем апостериорная вероятность модели: $\mathrm{Pr}(A\mid \text{данные})=\frac{m_A{\pi }_A}{m_A{\pi }_A+m_B{\pi }_B}$.
- Преимущество: аккуратно работает при маленьких выборках, даёт вероятности и интервалы неопределённости.
3) Точные критерии и интервалы
- Для каждой монеты можно выполнить точный биномиальный тест проверки $H_0:p=1/2$ (Clopper–Pearson интервалы для $p_i$). Если для одной монеты $0.5$ входит в доверительный интервал, а для другой — нет, это сильное свидетельство.
- При небольших $n$ асимптотические z‑тесты/хи‑квадрат ненадёжны; предпочтительны точные тесты (биномиальный, Fisher’s exact для сравнения долей) или Barnard's exact (чаще мощнее, но сложнее).
4) Последовательные и оптимальные критерии при малом бюджете бросков
- SPRT (sequential probability ratio test) позволяет экономно накапливать доказательства и принимать решение как только отношение правдоподобий достигает порога.
- Для заранее заданной минимально существенной разницы $d=|p-1/2|$ оценка требуемого числа бросков (приближенно, нормальное приближение):
$$n\approx \frac{z_{1-\alpha /2}^2\cdot 0.25}{d^2}$$ (здесь $z_{1-\alpha /2}$ — квантиль нормального распределения для уровня значимости).
Практические рекомендации при малом числе бросков
- Используйте счётные статистики $(k_i,n_i)$ — это всё, что нужно.
- Для финального решения предпочтительны (в порядке приоритета для малого $n$):
1. Байесовский анализ с невозмутимым/Джеффрея априори — даёт апостериорные вероятности моделей и интервалы.
2. Точный биномиальный тест по каждой монете и сравнение (или Fisher/Barnard при разных $n_i$).
3. LRT/отношение правдоподобий как быстрый критерий (но не интерпретировать асимптотически χ^2 при очень малых n).
- Если важна экономия бросков — применяйте SPRT или последовательный байесовский выбор.
Краткое решение-правило для данных $(k_1,n_1),(k_2,n_2)$ - Вычислить ${\hat{p}}_i=k_i/n_i$.
- Вычислить LRT $\Lambda$ или байес-фактор $BF$ (формулы выше).
- Выбрать модель с большей правдоподобностью / апостериорной вероятностью; при малом n дополнительно смотреть точные биномиальные p‑значения и доверительные интервалы для $p_i$.
Если нужно, могу привести пример расчёта (LRT и байес-фактор) для конкретных чисел $k_1,n_1,k_2,n_2$.